题文
已知偶函数
在R上的任一取值都有导数，且
则曲线
在
处的切线的斜率为 ( )A．2B．-2C．1D．-1 题型：未知 难度：其他题型
答案
D点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
由f（x）在R上可导，对f（x+2）=f（x－2）两边求导得：
f′（x+2）（x+2）′=f′（x－2）（x－2）′，即f′（x+2）=f′（x－2）①，
由f（x）为偶函数，得到f（－x）=f（x），
故f′（－x）（－x）′=f′（x），即f′（－x）=－f′（x）②，
则f′（x+2+2）=f′（x+2－2），即f′（x+4）=f′（x），
所以f′（－5）=f′（－1）=－f′（1）=－1，即所求切线的斜率为－1．
故选D。
点评：中档题，本题解答充分借助于已知等式，通过两边求导数，确定得到函数导数值关系，进一步将切线斜率转化成求函数的导数值。
考点
据考高分专家说，试题“已知偶函数在R上的任一取值都有导数，且则.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
