题文
已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2a•x+2a，g(x)=12(x-2a)2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）∵h（x）=f（x）-g（x）=alnx-2ax+2a-12(x-2a)2=alnx-12x2（x＞0）（2分）对函数h（x）求导可得，h′(x)=ax-x=-(x+a)(x-a)x
∵x＞0
∴当0＜x＜a时，h′（x）＞0，h（x）在（0，a）上单调递增，
当x＞a时，h′（x）＜0，h（x）在（a，+∞）上单调递减
∴x=a是函数h（x）唯一的极大值即是函数的最大值h（a）=alna-a2（4分）
（II）当a=e时，h（x）=f（x）-g（x）的最大值为0
即f（x）≤g（x），当且仅当x=e时取等号（6分）
∴函数f（x，g（x）的图象在x=e处有且仅有一个公共点（e，e2）
∵f′(x)=ex -2e，函数f（x）的图象在x=e处的切线斜率k=-e
g′(x)=x-2e，函数g（x）在x=e处的切线斜率k=-e
∴f（x）与g（x）的图象在x=e处有公共的切线方程为y=-ex+3e2（8分）
设F(x)=f(x)-(-ex+3e2)=elnx-ex+e2，F′(x)=ex-e=-e(x-e)x
x(0，e)e(e，+∞) F'（x）+0-F（x）↑极大值↓∴当x=e时，函数F（x）取得最大值0
∴f(x)≤-ex+3e2恒成立；…（10分）
∵g(x)-(-ex+3e2)=12x2-ex+e2=12(x-e)2≥0，
∴g(x)≥-ex+3e2在x∈R时恒成立；
∴当a=e时，k=-e，b=3e2．
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
a考点
据考高分专家说，试题“已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
