对于定义在R上的函数f，可以证明点A是f图象的一个对称点的充要条件是f+f=2n，x∈R．求函数f=x3+

题文

对于定义在R上的函数f（x），可以证明点A（m，n）是f（x）图象的一个对称点的充要条件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．
（1）求函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点；
（2）函数f（x）=ax³+（b-2）x²（a，b∈R）在R上是奇函数，求a，b满足的条件；并讨论在区间[-1，1]上是否存在常数a，使得f（x）≥-x²+4x-2恒成立？
（3）试写出函数y=f（x）的图象关于直线X=M对称的充要条件（不用证明）；利用所学知识，研究函数f（x）=ax³+bx²（a，b∈R）图象的对称性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设A（m，n）为函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n，对于x∈R恒成立．即（m-x）³+3（m-x）²+（m+x）³+3（m+x）²=2n对于x∈R恒成立，
∴（6m+6）x²+（2m³+6m²-2n）=0由6m+6=02m3+6m2-2n=0解得：m=-1n=2
故函数f（x）图象的一个对称点为（-1，2）．
（2）①因为函数是奇函数，则由f（-x）=-f（x）得：-ax³+（b-2）x²=-ax³-（b-2）x²，解得a∈R，b=2；
②当a∈R，b=2时f（x）是奇函数．不存在常数a使f（x）≥-x²+4x-2x∈[-1，1]时恒成立．
依题，此时f（x）=ax³令g（x）=-x²+4x-2x∈[-1，1]∴g（x）∈[-7，1]若a=0，f（x）=0，不合题；
若a＞0，f（x）=ax³此时为单调增函数，f（x）_min=-a．
若存在a合题，则-a≥1，与a＞0矛盾．
若a＜0，f（x）=ax³此时为单调减函数，
f（x）_min=a若存在a合题，则a≥1，与a＜0矛盾．
综上可知，符合条件的a不存在．
（3）函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f（m+x）=f（m-x）
①a=b=0时，f（x）=0（x∈R），其图象关于x轴上任意一点成中心对称；关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形；
②a=0，b≠0时，f（x）=bx²（x∈R），其图象关于y轴对称图形；
③a≠0，b=0时，f（x）=ax³，其图象关于原点中心对称；
④a≠0，b≠0时，f（x）=ax³+bx²的图象不可能是轴对称图形．
设A（m，n）为函数f（x）=ax³+bx²图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n对于x∈R恒成立．即a（m-x）³+b（m-x）²+a（m+x）³+b（m+x）²=2n对于x∈R恒成立，（3am+b）x²+（am³+bm²-n）=0
由，由3am+b=0am3+bm2-n=0解得m=-b3an=2b327a2
故函数f（x）图象的一个对称点为（-b3a，2b327a2）．

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解析

6m+6=02m3+6m2-2n=0

考点

据考高分专家说，试题“对于定义在R上的函数f（x），可以证明点.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|