如图，设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，若过 A，Q，F2三点的圆恰

题文

如图，设椭圆C：

（a＞b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且

，若过 A，Q，F₂三点的圆恰好与直线l：

相切，过定点 M（0，2）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）。

（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₁的斜率k>0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由；
（3）若实数λ满足

，求λ的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为


所以F₁为F₂Q中点
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF₂，
所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，且过A，Q，F₂三点的圆的圆心为F₁（-c，0），半径为2c
因为该圆与直线l相切，
所以


解得c=1，
所以a=2，


故所求椭圆方程为

。
（2）设l₁的方程为y=kx+2（k>0）
由

得（3+4k²）x²+16kx+4=0
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则


所以

（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）
=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）


（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））
由于菱形对角线互相垂直，因此


所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0
因为k>0，
所以x₂-x₁≠0
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0，
即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0
所以


解得


即


因为k>0，
所以


故存在满足题意的点P且m的取值范围是

。
（3）①当直线l₁斜率存在时，
设直线l₁方程为y=kx+2，代入椭圆方程


得（3+4k²）x²+16kx+4=0
由△>0，得


设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
则


又

，
所以（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2）
所以x₁=λx₂
所以


所以


所以


整理得


因为，


所以

，即


所以


解得


又0＜λ＜1，
所以7-4

＜λ＜1。
②当直线l₁斜率不存在时，直线l₁的方程为x=0，
此时

，

，

，


所以


所以

，
即所求λ的取值范围是

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“如图，设椭圆C：（a＞b>0.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。