已知各项均为正数的数列满足，， .求证：数列是等比数列；当取何值时，取最大值，并求出最大值；若对任意恒成立，求实数的取值范围.

题文

已知

各项均为正数的数列

满足

，

，

.
（Ⅰ）求证：数列

是等比数列； 
（Ⅱ）当

取何值时，

取最大值，并求出最大值；
（Ⅲ）若

对任意

恒成立，求实数

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）见解析
（II）当n=7或n=8时，

取最大值，最大值为

．
（III）实数

的取值范围是

解析

（I）∵

，

，

，
∴

． 即

．
又

，所以

．
∵

，
∴

是以

为首项，公比为

的等比数列．
（II）由（I）可知

 （

）．
∴

．


．
当n=7时，

，

；
当n<7时，

，

；
当n>7时，

，

．
∴




当n=7或n=8时，

取最大值，最大值为

．
（III）由

，得

      （*）
依题意（*）式对任意

恒成立，
当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．
②当t<0时，由

，可知

（

）．
而当m是偶数时

，因此t<0不合题意．
③当t>0时，由

（

）,
∴

   ∴

． （

）
设

    （

）
∵

 =

,
∴

．∴

的最大值为

．
所以实数

的取值范围是

．

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列满足，， .（Ⅰ）.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．