已知函数f=-x2+4），P、Q是f图象上的任意两点．①试求直线PQ的斜率kPQ的取值范围；②求f图象上任一点切线的斜

题文

（1）已知函数f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率k_PQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合M_D是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于M_D，若属于M_D，给予证明，否则说明理由；
②当D=(0，33)，函数f（x）=x³+ax+b时，若f（x）∈M_D，求实数a的取值范围．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）=1 ①设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是f（x）图象上的任意两点（x₁≠x₂），则kPQ=f(x2)-f(x1)x2-x1=(-x22+4)-(-x12+4)x2-x1=-(x2+x1)，
由x₁，x₂∈（-1，2），知-（x₁+x₂）∈（-4，2），
∴直线PQ的斜率k_PQ的取值范围是（-4，2）；
②由f′（x）=-2x，x∈（-1，2），得f′（x）∈（-4，2），
∴f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围是（-4，2）；
（2）由（1）得：函数y=f（x）图象上任意两点P、Q连线的斜率k=y1-y2x1-x2(x1≠x2)的取值范围，
就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围（其实由导数的定义可得）．
①∵f′(x)=1x，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1⇒|f′（x）|＞1，
∴|f(x1)-f(x2)x1-x2|＞1，当x₁，x₂∈（0，1）时，f（x）=lnx∉M_D．
②由f（x）=x³+ax+b⇒f′（x）=3x²+a，当x∈(0，33)时，
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈M_D，
∴|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|，即|f(x1)-f(x2)x1-x2|＜1，
∴a≥-11+a≤1，得-1≤a≤0．
∴实数a的取值范围是[-1，0]．

解析

f(x2)-f(x1)x2-x1

考点

据考高分专家说，试题“（1）已知函数f（x）=-x2+4（x∈.....”主要考查你对 [集合间的基本关系 ]考点的理解。集合间的基本关系

集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：

1、子集概念：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作A

B（或说A包含于B），
也可记为B

A（B包含A），此时说A是B的子集；A不是B的子集，记作A

B，读作A不包含于B
2、集合相等：
对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B
3、真子集：
对于集合A与B，如果A

B并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A

B（B

A），读作A真包含于B（B真包含A）