已知函数f的定义域为[0，1]，且满足下列条件：①对于任意x∈[0，1]，总有f≥3，且f=4；②若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f

题文

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤4；
（Ⅲ）当x∈(13n，13n-1](n=1，2，3，…)时，试证明：f（x）＜3x+3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令x₁=x₂=0，
由①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，∴f（0）≥3（1分）
又由②得f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3；（2分）
∴f（0）=3．（3分）
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈[0，1]，且设x₁＜x₂，
则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3，
因为x₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）≥3，即f（x₂-x₁）-3≥0，
∴f（x₁）≤f（x₂）．（5分）
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4．（6分）
（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：f(13n-1)≤13n-1+3(n∈N*)
（1）当n=1时，f(1)=f(130)=4=1+3=130+3（2），不等式成立；（7分）
（3）假设当n=k时，f(13k-1)≤13k-1+3(k∈N*)（4）
由f(13k-1)=f[13k+(13k+13k)]≥f(13k)+f(13k+13k)-3≥f(13k)+f(13k)+f(13k)-6
得3f(13k)≤f(13k-1)+6≤13k-1+9.
即f(13k)≤13k+3.
所以，当n=k+1时，不等式成立；（10分）
由（1）、（2）可知，不等式f(13n-1)≤13n-1+3对一切正整数都成立．（11分）
于是，当x∈(13n，13n-1](n=1，2，3，)时，3x+3＞3×13n+3=13n-1+3≥f(13n-1)，
所以，f(x)≤f(13n-1)≤3x+3.（13分）

解析

13n-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。