题文
对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫做闭函数.(Ⅰ)请你举出一个闭函数的例子,并写出它的一个符合条件②的区间[a,b];
(Ⅱ)求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a,b];
(Ⅲ)判断函数f(x)=34x+1x (x>0)是否为闭函数?并说明理由. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(Ⅰ)如f(x)=x,[a,b]=[1,2].(Ⅱ)由题意,y=-x3在[a,b]上递减,则b=-a3a=-b3b>a,
解得a=-1b=1.
所以,所求的区间为[-1,1].
(Ⅲ)取x1=1,x2=10,则f(x1)=74<7610=f(x2),
即f(x)不是(0,+∞)上的减函数.
取x1=110,x2=1100,f(x1)=340+10<3400+100=f(x2),
即f(x)不是(0,+∞)上的增函数.
所以,函数在定义域内既不单调递增也不单调递减,从而该函数不是闭函数.
解析
b=-a3a=-b3b>a考点
据考高分专家说,试题“对于定义域为D的函数y=f(x),若同时.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商
,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较
与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。