题文
已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)试判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)试解不等式f(x)+f(x﹣2)<3. 题型:未知 难度:其他题型
答案
解:(1)由题意可得 f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
令y=
,可得 f(1)=0=f(x)+f(
),
∴f(
)=﹣f(x).
设 x2>x1>0,则
>1,
∴f(
)=f(x2)+f(
)=f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1),
函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)不等式f(x)+f(x﹣2)<3 即 f[x(x﹣2)]<3.
由于 f(4)=f(2)+f(2)=2,f(8)=f(4)+f(2)=3,
故不等式即 f[x(x﹣2)]<f(8).
由
解得 2<x<4,
故不等式的解集为 (2,4).
解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说,试题“已知f(x)的定义域为(0,+∞).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商
,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较
与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。