已知定义在R上的函数f=2x+a2x，a为常数，若f为偶函数．求a的值；判断函数f在内的单调性，并用单调性定义给予证明

题文

已知定义在R上的函数f（x）=2^x+a2x，a为常数，若f（x）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明；
（3）求函数f（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2^x+a2x=12x+a•2^x ，…2分
从而a=1．     …4分   
f（x）=2^x+12x． …5分
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增．
证明：任取 0＜x₁＜x₂，…6分 
f（x₁）-f（x₂）=2x1+12x1-2x2-12x2=（2x1-2x2 ）+2x2-2x12x1•2x2=（2x1-2x2 ）（1-12x1•2x2）=（2x1-2x2 ）（2x2+x1-12x1•2x2 ），…..7分
由条件-∞＜x₁＜x₂，可得（2x1-2x2 ）＜0，）（2x2+x1-12x1•2x2 ）＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函数f（x）在（0，+∞）内单调增．…..10分
（3）∵函数 f（x）=2^x+12x，令 t=2^x＞0，…..11分
则 y=t+1t，（ t＞0）…..12分
由基本不等式可得y=t+1t≥2，当且仅当t=1时，等号成立，…..14分
所以函数的值域为[2，+∞）．…..15分．

解析

a2x

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）=2x+a2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。