算法分析与设计CH25：回溯算法Back-Tracking——N皇后问题

CH25：Back-Tracking

MindMap：

15.1 Back-Tracking Paradigm

使用场景：无法使用最优子结构

问题特征：

• 算法使用策略

• 可以用来解优化问题也可以用来求解可行解
  回溯 { 寻找可行解 寻找最优解 回溯begin{cases}寻找可行解\ 寻找最优解end{cases} 回溯{寻找可行解寻找最优解​
  将问题建模为n元组： ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (x_1,x_2,...,x_n) (x1​,x2​,...,xn​)

约束条件：
{ 显式约束： e x p l i c t 变量取值范围 隐式约束： i n p l i c i t 分量与分量之间的关系 begin{cases}显式约束：explict变量取值范围\ 隐式约束：inplicit分量与分量之间的关系end{cases} {显式约束：explict变量取值范围隐式约束：inplicit分量与分量之间的关系​

15.2 N-Queens

特征：寻找可行解

15.2.1 问题分析

若采用分治策略：

• 无法合并，子问题之间并不是相互独立的
• n推n-1，仍无法解决子问题不相互独立的问题

求解？

——暴力穷举【搜索是一种类似于穷举的方式】

每个棋盘8×8个位置不用都尝试，n×n棋盘一定每一行放一个，每一列放一个。

做法：

• 给行编号，第 i i i个棋子放在第 i i i行
• 给列编号，每个棋子做列的选择

候选解即一个8元组： ( x 1 , x 2 , . . . , x 8 ) (x_1,x_2,...,x_8) (x1​,x2​,...,x8​)， x i x_i xi​是棋子的列号

15.2.2 问题求解 （1）约束条件

显式约束：每个棋子的列号在1~8之间，即 x i ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } , 1 ≤ i ≤ 8 x_iin{1,2,3,4,5,6,7,8},1leq ileq 8 xi​∈{1,2,3,4,5,6,7,8},1≤i≤8

隐式约束：棋子不能同行，同列，同斜线，即
x i ≠ x j 且 ∣ x i − x j ∣ ≠ ∣ i − j ∣ x_ineq x_j且|x_i-x_j|neq |i-j| xi​=xj​且∣xi​−xj​∣=∣i−j∣

（2）求解空间树

所有的候选的解：从根到叶子的所有路径

每一个节点：问题解决的目前状态

节点的分类：

• Alive-Node：孩子节点还未生成完的结点——可能不止一个活结点
• E-Node：孩子结点正在生成——只有一个E-结点
• Dead-Node：孩子结点已经挑选完，或者人为去除

（3）搜索的DFS和分支限界

• DFS

问题的深度优先搜索的过程：

DFS：只有当深搜无法向下继续时，才会切换E-节点

• 分支限界

  BFS是分支限界的一种，但分支限界不都是BFS

使用限界函数bound function去认为的标记活结点为死结点，是回溯和暴力搜索的区别。

15.2.3 回溯的一般写法 （1）一般写法 （2）N皇后问题求解

• 主程序

• 限界函数

15.3 0-1背包问题

背包类比皇后，背包问题中使用的限界函数为分数背包的思想。

// 回溯法求解背包问题-[迭代]
vector knapsack_dfs(int capacity, vector& items, vector& res) {
    sort(items.begin()+1, items.end(), Item::cmp);
    int k = 1;
    int item_num = items.size() - 1;    // 去除两个额外的位置
    double max_v_w = items[1].v_w;
    res[0] = 0;    // 初始化为0
    res[item_num + 1] = 0;
    vector bestChoice = res;   // 初始化什么物品都不装, 下标第一个位置放此时的物品总价值
    while (k > 0) { // 回退到第0个物品，不存在第0个物品，终止
        res[k] += 1;                // 值递增
        while (res[k] <= 1 && !check(k, res, items, capacity, max_v_w, bestChoice[items.size()])) {
            res[k] += 1;    // 递增
        }
        if (res[k] <= 1) {  // 得到了一个尝试的结果
            if (k == item_num) {  // 是一个【更优解】
                if (value_cal(res, items) > bestChoice[items.size()]) {
                    bestChoice = res;   // 重置最好的值。
                }
            }else{  // 可以继续尝试
                k++;
                res[k] = -1;
            }
        } else {    // 该结点没有再被尝试的可能，回退
            k--;    // 做下一步的选择
        }
    }
    return bestChoice;
}

15.4 General Method 15.4.1 Branch & Bound Paradigm （1）D-Search

• 广搜使用队列
• D-Search使用栈

（2）皇后问题使用分支限界

在展开时使用限界函数：

使用队列作为数据结构

分支限界需要把树保留下来。否则变量之间的关系会丢失

（3）分支限界的可优化性

• 分支限界与回溯的比较

• 若只找一个解，那么活结点的选择上，无论是回溯还是分支限界，选择活结点的方式过于死板

  栈或者是队列都无助于找到answer

  使用别的方式：活结点评价函数

利用评价函数选择更好的活结点，结点的代价：cost

• 以X为树根的树中需要生成多少个结点才能找到answer
• X离他最近的answer需要切换几次

此时活结点表应该使用堆，这种解法有些事后诸葛亮

（4）LC-Search

对代价进行估计：LC-Search
考虑因素： { 估计代价 根到该结点的深度 考虑因素：begin{cases}估计代价\根到该结点的深度end{cases} 考虑因素：{估计代价根到该结点的深度​

• g(x)：估计从结点到一个解的代价——引导我们做深度优先搜索

  一般孩子结点代价<父节点代价

• h(x)：该结点到根的深度

15.5 15-Puzzle

问题空间：16!种可能性

15.5.1 使用DFS或BFS （1）DFS

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8EjKgAXq-1659619781012)(https://cdn.jsdelivr.net/gh/Holmes233666/blogImage@main/img/image-20220610175720972.png)]

（2）BFS

15迷问题使用回溯是不合适的

15.5.2 LCS

代价定为：有几块没摆好

但要加修正：深度+“估计代价”

未用先验知识：

LC-Search的核心：设计c(x)