C++模拟实现红黑树并实现对set和map的封装

前言
一、什么是红黑树
二、红黑树的性质
三、红黑树节点定义
四、红黑树的插入操作
- 情况一
- 情况二
- 情况三
五、红黑树的验证
六、红黑树完整代码
七、红黑树模拟实现STL中的map与set
- 1. 红黑树的迭代器实现
- 2. 改造红黑树
- 3. 封装map
- 4. 封装set

前言

有了AVL树，为什么还要用红黑树？

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n ) O(log2n)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

一、什么是红黑树

红黑树（Red Black Tree）是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。红黑树是在1972年由Rudolf Bayer发明的，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees）。后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的 “红黑树”。红黑树是一种特化的AVL树（平衡二叉树），都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。它虽然是复杂的，但它的最坏情况运行时间也是非常良好的，并且在实践中是高效的：它可以在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)时间内做查找，插入和删除，这里的 n 是树中元素的数目。

二、红黑树的性质

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

性质如下：

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空节点, 即NIL节点)

【注意】
红黑树中最短的路径即是全黑节点的路径，最长的路径则是一黑一红间隔的路径，因此红黑树就保证了：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍。

三、红黑树节点定义

红黑树的节点与AVL树几乎相同，只是红黑树节点相当于AVL树来说新增了颜色这个成员变量，而少了平衡因子。

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};

template
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode* _left;
	RBTreeNode* _right;
	RBTreeNode* _parent;
	pair _kv;

	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}
};

四、红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上进行插入并加上其平衡限制条件。由于上述性质的约束：插入的新节点不能为黑节点，应插入红节点。因为当插入黑节点时将破坏性质5，所以每次插入的点都是红结点，但是若他的父节点也为红，那岂不是破坏了性质4？所以要做一些“旋转”和一些节点的变色！以下是红黑树插入过程中所遇到的所有情况。
注意：这里约定cur为当前节点，p为父节点，u为叔叔节点，g为祖父节点。

情况一

情况一：即cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红。

调整方法，u节点存在且为红色，将p和u改成黑色，g改成红色，如果g不是根，则g一定有父节点，且g的双亲如果是红色，则需要继续往上调整，即g变成cur，继续直到满足红黑树条件或者到达根节点，最后将根节点置为黑色即可。

情况二

情况二：即cur为红，p为红，g为黑，u不存在 / u为黑。
【说明】
u的情况有两种：

如果u节点不存在，则cur一定是新插入的节点，因为如果cur不是新插入的节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色的，就不满足性质4：每条路径黑色节点的个数相同。
如果节点u存在，则其一定是黑色的。那么cur节点原来一定是黑色的，即当前cur节点是红色的原因是因为cur的子树在调整过程中将cur节点的颜色有黑色变为红色

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转。

情况三

情况三: 即cur为红，p为红，g为黑，u不存在 / u为黑。

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，就变成了情况二，在右旋或者左旋加变色即可。

五、红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
检测其是否满足红黑树的性质

代码如下：

bool IsBalanceRBTree()
{
	if (_root == nullptr) //空树是红黑树
		return true;

	// 检查根节点是否是红黑树
	if (BLACK != _root->_col)
	{
		cout << "违反红黑树性质二：根节点必须是黑色" << endl;
		return false;
	}

	//获取任意一条路径中的黑色结点个数——比较基准值
	size_t blackCount = 0;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (BLACK == cur->_col)
		{
			++blackCount;
		}
		cur = cur->_left;
	}

	//检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
	size_t k = 0;
	return _IsValidRBTree(_root, k, blackCount);	
}

bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t& blackCount)
{
	//走到空, 判断 k 和 blackCount是否相等
	if (nullptr == root)
	{
		if (k != blackCount)
		{
			cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点个数必须相等" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	// 统计黑色节点的个数
	if (BLACK == root->_col)
		++k;

	//检查当前节点与其双亲节点是否都为红色
	if (RED == root->_col && root->_parent && RED == root->_parent->_col)
	{
		cout << "违反性质三：存在连在一起的红色节点" << endl;
		return false;
	}

	return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount) && _IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount);
}

六、红黑树完整代码

#pragma once
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

enum Colour
{
	RED,
	BLACK,
};

template
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode* _left;
	RBTreeNode* _right;
	RBTreeNode* _parent;
	pair _kv;

	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}
};

template
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode Node;
public:
	bool Insert(const pair& kv)
	{
		// 1、搜索树的插入规则
		// 2、看是否违反平衡规则
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//找到了插入位置
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED; //插入结点为红色
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;


		//存在连续的红结点
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			assert(grandfather);

			//parent在左
			if (grandfather->_left == parent)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//情况一
				if (uncle && uncle->_col == RED) //叔叔存在且为红色
				{
					//变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 叔叔 不存在 或者 存在且为黑
				{
					//情况二
					if (cur == parent->_left) //右单旋
					{
						//    g
						//  p
						//c
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;

					}
					//情况三
					else //左右双旋
					{
						//    g
						//  p
						//    c

						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			//parent在右
			else  //(grandfather->_right == parent)
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				//情况一
				if (uncle && uncle->_col == RED) //叔叔存在且为红色
				{
					//变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 叔叔 不存在 或者 存在且为黑
				{
					//情况二
					if (cur == parent->_right) //左单旋
					{
						// g
						//   p
						//     c
						RotateL(grandfather);

						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					//情况三
					else //(cur == parent->_left) 右左双旋
					{
						// g
						//   p
						// c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	void Height()
	{
		cout << "最长路径:" << _maxHeight(_root) << endl;
		cout << "最短路径:" << _minHeight(_root) << endl;
	}

	vector> levelOrder() {
		vector> vv;
		if (_root == nullptr)
			return vv;

		queue q;
		int levelSize = 1;
		q.push(_root);

		while (!q.empty())
		{
			// levelSize控制一层一层出
			vector levelV;
			while (levelSize--)
			{
				Node* front = q.front();
				q.pop();
				levelV.push_back(front->_kv.first);
				if (front->_left)
					q.push(front->_left);

				if (front->_right)
					q.push(front->_right);
			}
			vv.push_back(levelV);
			for (auto e : levelV)
			{
				cout << e << " ";
			}
			cout << endl;

			// 上一层出完，下一层就都进队列
			levelSize = q.size();
		}

		return vv;
	}

	//检查是否是红黑树
	bool IsBalanceRBTree()
	{
		if (_root == nullptr) //空树是红黑树
			return true;

		// 检查根节点是否是红黑树
		if (BLACK != _root->_col)
		{
			cout << "违反红黑树性质二：根节点必须是黑色" << endl;
			return false;
		}

		//获取任意一条路径中的黑色结点个数——比较基准值
		size_t blackCount = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (BLACK == cur->_col)
			{
				++blackCount;
			}
			cur = cur->_left;
		}

		//检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
		size_t k = 0;
		return _IsValidRBTree(_root, k, blackCount);	
	}

private:
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* grandParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == grandParent->_left)
			{
				grandParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				grandParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = grandParent;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* grandParent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == grandParent->_left)
			{
				grandParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				grandParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = grandParent;
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	int _maxHeight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int lh = _maxHeight(root->_left);
		int rh = _maxHeight(root->_right);

		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}

	int _minHeight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int lh = _minHeight(root->_left);
		int rh = _minHeight(root->_right);

		return lh < rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}

	bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t& blackCount)
	{
		//走到空, 判断 k 和 blackCount是否相等
		if (nullptr == root)
		{
			if (k != blackCount)
			{
				cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点个数必须相等" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		// 统计黑色节点的个数
		if (BLACK == root->_col)
			++k;

		//检查当前节点与其双亲节点是否都为红色
		if (RED == root->_col && root->_parent && RED == root->_parent->_col)
		{
			cout << "违反性质三：存在连在一起的红色节点" << endl;
			return false;
		}

		return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount) && _IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

七、红黑树模拟实现STL中的map与set 1. 红黑树的迭代器实现

迭代器的好处是可以方便遍历，是数据结构的底层实现与用户透明。如果想要给红黑树增加迭代
器，需要考虑以前问题：
STL明确规定，begin()与end()代表的是一段前闭后开的区间，而对红黑树进行中序遍历后，可以得到一个有序的序列，因此：begin()可以放在红黑树中最小节点(即最左侧节点)的位置，end()放在最大节点(最右侧节点)的下一个位置，关键是最大节点的下一个位置在哪块？
STL库中的红黑树实现带了一个哨兵位的头节点，通过头节点存储begin和end的指针即解决了这个问题。由于为了减少操作，上面所实现的红黑树没有带头节点，因此只需要begin()放在红黑树中最小节点(即最左侧节点)的位置，end()直接指向nullptr。

红黑树迭代器实现代码：

template
struct __RBTreeIterator
{
	typedef RBTreeNode Node;

	typedef __RBTreeIterator self;
	Node* _node;

	__RBTreeIterator(Node* node)
		:_node(node)
	{}

	Ref operator*()
	{
		return _node->_data;
	}

	Ptr operator->()
	{
		return &_node->_data;
	}

	self& operator++()
	{
		if (_node->_right == nullptr)
		{
			//找祖先里面，孩子是父亲左的那个
			Node* cur = _node;
			Node* parent = cur->_parent;
			while (parent && parent->_right == cur)
			{
				cur = cur->_parent;
				parent = cur->_parent;
			}
			_node = parent;
		}
		else
		{
			//右子树的最左节点
			Node* subL = _node->_right;
			while (subL->_left)
			{
				subL = subL->_left;
			}
			_node = subL;
		}

		return *this;
	}

	self operator++(int)
	{
		self tmp(*this);
		++(*this);
		return tmp;
	}

	self& operator--()
	{
		if (_node->_left == nullptr)
		{
			//找祖先里面，找祖先里面，孩子是父亲右的那个
			Node* cur = _node;
			Node* parent = cur->_parent;
			while (parent && parent->_left)
			{
				cur = cur->_parent;
				parent = cur->_parent;
			}
			_node = parent;
		}
		else
		{
			//左子树的最右节点
			Node* subR = _node->_left;
			while (subR->_right)
			{
				subR = subR->_left;
			}
			_node = subR;
		}
		return *this;
	}

	self operator--(int)
	{
		self tmp(*this);
		--(*this);
		return tmp;
	}

	bool operator!=(const self& s)
	{
		return _node != s._node;
	}

	bool operator==(const self& s)
	{
		return _node == s._node;
	}

};

2. 改造红黑树

因为关联式容器中存储的是的键值对，因此 k为key的类型，ValueType: 如果是map，则为pair; 如果是set，则为k。
KeyOfValue: 通过value来获取key的一个仿函数类

红黑树改造：

// T决定红黑树存什么数据
// set  RBTree
// map  RBTree>
// KeyOfT -> 支持取出T对象中key的仿函数
template
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode Node;
public:

	typedef __RBTreeIterator iterator;
	typedef __RBTreeIterator const_iterator;

	iterator Begin()
	{
		Node* subL = _root;
		while (subL && subL->_left)
		{
			subL = subL->_left;
		}
		return subL;
	}

	iterator End()
	{
		return iterator(nullptr);
	}

	const_iterator Begin() const
	{
		Node* subL = _root;
		while (subL && subL->_left)
		{
			subL = subL->_left;
		}
		return subL;
	}

	const_iterator End() const
	{
		return const_iterator(nullptr);
	}

	pair Insert(const T& data)
	{
		// 1、搜索树的插入规则
		// 2、看是否违反平衡规则
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(data);
			_root->_col = BLACK;
		    return make_pair(iterator(_root), true);

		}

		KeyOfT kot;

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (kot(cur->_data) < kot(data))
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kot(cur->_data) > kot(data))
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return make_pair(iterator(cur), true);
			}
		}

		//找到了插入位置
		cur = new Node(data);
		Node* newnode = cur;
		cur->_col = RED; //插入结点为红色
		if (kot(parent->_data) < kot(data))
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;


		//存在连续的红结点
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			//assert(grandfather);

			//parent在左
			if (grandfather->_left == parent)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//情况一
				if (uncle && uncle->_col == RED) //叔叔存在且为红色
				{
					//变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 叔叔 不存在 或者 存在且为黑
				{
					//情况二
					if (cur == parent->_left) //右单旋
					{
						//    g
						//  p
						//c
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;

					}
					//情况三
					else //左右双旋
					{
						//    g
						//  p
						//    c

						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			//parent在右
			else  //(grandfather->_right == parent)
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				//情况一
				if (uncle && uncle->_col == RED) //叔叔存在且为红色
				{
					//变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 叔叔 不存在 或者 存在且为黑
				{
					//情况二
					if (cur == parent->_right) //左单旋
					{
						// g
						//   p
						//     c
						RotateL(grandfather);

						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					//情况三
					else //(cur == parent->_left) 右左双旋
					{
						// g
						//   p
						// c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}
		_root->_col = BLACK;
		return make_pair(iterator(newnode), true);
	}

	iterator Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		KeyOfT kot;

		while (cur)
		{
			if (kot(cur->_data) < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kot(cur->_data) > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return iterator(cur);
			}
		}
		return End();
	}

private:
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* grandParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == grandParent->_left)
			{
				grandParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				grandParent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = grandParent;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* grandParent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == grandParent->_left)
			{
				grandParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				grandParent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = grandParent;
		}
	}


private:
	Node* _root = nullptr;
};

3. 封装map

map的底层结构就是红黑树，因此在map中直接封装一棵红黑树，然后将其接口包装下即可。

	template
	class map
	{
		struct MapKeyOfT
		{
			const K& operator()(const pair& kv)
			{
				return kv.first;
			}
		};

	public:
		typedef typename RBTree, MapKeyOfT>::iterator iterator;
		typedef typename RBTree, MapKeyOfT>::const_iterator const_iterator;

		iterator begin()
		{
			return _t.Begin();
		}

		iterator end()
		{
			return _t.End();
		}

		pair insert(const pair& kv)
		{
			return _t.Insert(kv);
		}

		iterator find(const K& key)
		{
			return _t.Find(key);
		}

		V& operator[](const K& key)
		{
			pair ret = insert(make_pair(key, V()));
			return ret.first->second;
		}

	private:
		RBTree, MapKeyOfT> _t;
	};

4. 封装set

set的底层为红黑树，因此只需在set内部封装一棵红黑树，即可将该容器实现出来，基本操作与map类似。

	template
	class set
	{
		struct SetKeyOfT
		{
			const K& operator()(const K& key)
			{
				return key;
			}
		};

	public:
		typedef typename RBTree::const_iterator iterator;
		typedef typename RBTree::const_iterator const_iterator;

		iterator begin()const
		{
			return _t.Begin();
		}

		iterator end()const
		{
			return _t.End();
		}

		pair insert(const K& key)
		{
			auto ret = _t.Insert(key);
			return pair(iterator(ret.first._node), ret.second);
		}

		iterator find(const K& key)
		{
			return _t.Find(key);
		}


	private:
		RBTree _t;
	};

C++模拟实现红黑树并实现对set和map的封装

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