【摘 要】基础知识、基本技能、基本方法是数学核心素养的基础，而数学核心素养的发展必将突出数學思想，积累基本活动经验，塑造学生健全的人格。高三数学复习课要让学生既能温习功课、回归教材、体验真题，又能保持良好的心态，还能感悟世界观、人生观、价值观和荣辱观，以问题驱动推进教学。
【关键词】问题驱动;核心素养;高三数学;回归教材
【作者简介】王思俭，正高级教师，特级教师，江苏省苏州中学学术委员会主任。
【基金项目】国家社会科学基金“十三五”规划2016年度立项课题“基于核心素养的书院制育人模式的实践研究”（BHA160149）
一、提出问题
新一轮课程改革和高考改革的核心是课堂教学不仅注重传授知识、培养能力、启迪思维，还要把社会主义核心价值体系融入国民教育体系中，引导学生树立正确的世界观、人生观、价值观、荣辱观，即实现立德树人的宗旨。在高三复习阶段，教师不仅要引导学生回归课本，温习功课，还要帮助学生调整心态，领悟生命的意义。
但在教学实践中，笔者发现很多教学不容乐观，学生仍在进行大量的猜题、押题等训练，这样既不能缓解学生的心理压力，也不能提高学生的学习成绩，反而增加了学生的焦虑和恐惧心理，降低了学生的体能，影响学生真实水平的发挥。鉴于此，笔者以苏州市名师共同体高中数学教师执教的一节“椭圆中三角形的面积的研究”现场观摩课为例，旨在倡导高三的复习应回归教材，在问题驱动下，引导学生从教材习题的训练中巩固知识，寻求分析问题和解决问题的策略，培养学生数学运算、逻辑推理和数据分析的核心素养，同时，渗透数学文化中生命的意义，实现立德树人的功能。
二、基于问题驱动下的高三数学复习课设计
（一）学情分析
本节课的授课对象是江苏省苏州中学高三某班的学生，该班的数学学习成绩排在年级的第3～4名，学生的学习热情很高，解决问题的思路较多，思维也较为活跃，但容易忽视基础题，不重视教材。对于简单的问题，学生容易做错;对于比较复杂的问题，学生有思路，但怕麻烦，他们常常纠结于方法的选择;对于情境新颖的问题，学生基本能读懂题意，但不能形成连贯的解题路径。
（二）设计理念及教学目标
1设计理念
哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏。”[1]问题是数学思想的源泉，是数学思维的动力。在数学课堂教学中，没有问题就没有学生的思维活动，有了问题，学生的好奇心才能被激发，思维才能得到发展。数学就是在问题的不断提出与解决中发展的，数学的概念、公式、定理也都是因解决问题的需要而产生。
爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”高三复习课也是如此，需要教师基于学情，利用问题驱动，激发学生深入思考。因此，教师要创设恰当的问题情境，合理地提出问题，开展数学研讨交流，驱动数学知识、思想方法有机融合，达到保温增分的目标。基于问题驱动下的教学设计路线如图1所示。
2教学目标
（1）对一道教材习题进行探究，总结一类问题的求解思路，巩固已有的知识基础，让学生了解高考数学试题的命制过程，深入理解教材，增强学习信心，提升数学抽象、数据分析等核心素养。
（2）突出数学方法的选择意识，增强学生的数学活动经验，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，强化数学研讨交流的意识，提升数学建模素养。
（3）以代数、几何视角探究椭圆内三角形面积的主要过程，让学生体验其中的数学思想，提升对解析几何问题的认识和解题能力，提高数学运算和逻辑推理等核心素养。
（三）教学过程
上好高三数学复习课不容易，尤其是高三数学微专题复习课更是难上加难。教学目标如何定位、问题如何选取、解题策略如何巩固、数学思想如何渗透、解题能力如何提高、数学思维如何突破等，这些问题都需要教师潜心研究、静心思考。在课堂教学中，学生会有很多的问题生成，必定会超出教学的预设，教师如何驾驭课堂，使预设与生成都能有效地促进学生的数学思维，这是对广大教师教学能力的极大考验。
1基础性问题的研究
问题是课堂教学的载体，教师通过提出问题来引导学生，对数学活动进行调控，指导学生自我监控。问题也是学生学习的素材，是学生思维活动的原动力，为学生思考、探究、交流和有意义的建构指明了方向。而对基本问题的研究，有利于学生认识到理解数学概念、学习新方法的必要性，如利用三角形的稳定性与可变性，激发学生的求知欲，促进学生在圆锥曲线中研究三角形的面积问题。根据本节课的教学内容，笔者设计了以下基础性问题。
师：平行四边形和三角形哪个具有稳定性？
生（齐）：三角形。
师：对，所以同学们既要有三角形的稳定性，又要有三角形面积的最大值（即在一定条件下收效最大），以饱满的精神，昂扬的斗志，坚韧的毅力完成高三数学的学习与研究。
（教师语毕，教室充满笑声和掌声。）
【设计意图】用三角形的稳定性作为问题驱动，既能缓解学生的心理压力，又能提出本节课的核心问题——三角形面积最值。
当在听到学生小声议论“在什么条件下能求出三角形面积的最大值呢？”时，笔者顺势引导学生思考下面的问题。
问题1 已知双曲线x264-y236=1的焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积。
该题是苏教版高中数学选修1-1第40页的第9题，同时也是选修2-1第42页第9题的改编题，题目只是把“PF1⊥PF2”这个条件改成了“∠F1PF2=90°”。
【设计意图】教师引导学生探索教材中某一类基本问题的求解策略，旨在从不同的视角激发学生的探究兴趣。利用教材中的典型问题以及高考的高频问题作为问题驱动，不仅能增强学生的问题意识，还能提高学生提出问题的能力，从而引导学生重视教材、回归教材。
2可变性问题的研究
著名数学家波利亚说：“我们经常需要通过试验对问题做各种修改，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。”“如果不‘变化题目，我们几乎不能有什么进展”，[2]这也是高考命题的思路。在课堂教学中，不仅要有好的问题，而且还要有好的结构，即具有可变性，形成问题的序列化，也就是一个问题的解决导致新问题的产生，由这些变式题组成问题串。鉴于此，笔者设计了以下可变性问题。
师：如果将上述问题1的∠F1PF2=90°改成∠F1PF2=60°，那么问题如何解决呢？
生1：很简单，只需使用余弦定理就可以计算得到面积是363。
师：其他同学还有什么发现？
生2：三角形的面积和∠F1PF2有一定的关联。
师：我们一起来探究一下，不妨设∠F1PF2=θ。
（推导过程省略）
生3：S=b2cotθ2。
生4：椭圆中也有类似的结论。
生5：对，如果没有记错的话应该是S=b2tanθ2。
（推导过程略）
师：好，那今天我们就来研究椭圆中的三角形面积问题。
（教师板书变式题，即问题2至问题4。）
问题2 已知椭圆x225+y29=1的焦点为F1、F2，P是椭圆上的动点，则△F1PF2面积的最大值是 。
该题巩固了上述学生探究得出的结论，同时将静态问题变为动态问题，培养学生直观想象、数据分析、数学建模的核心素养。
问题3 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若△F1PF2面积的最大值是12a2，则椭圆的离心率为 。
该题利用椭圆中的焦点三角形面积取得最大值的条件，进一步挖掘了椭圆中几何量之间的关系，这不仅巩固了椭圆中焦点三角形的面积公式，也训练了学生的直观想象能力。
问题4 已知椭圆x225+y216=1的焦点为F1、F2，在橢圆上能否找到一点P，使得△F1PF2的面积为13？
该题是已知三角形面积求点的坐标，不仅训练了学生的运算能力，而且培养了学生的逆向思维和批判性思维能力。教师只有充分了解学生的起点状态，准确把握学生的学习需求，在学生的最近发展区设计问题，才能真正实现问题驱动。因此，变式教学能使学生更好地理解教材、活用教材，创造性地解决情境新颖的综合性问题。
3探究性问题的研究
在探究性问题的研究过程中，教师通过发挥学生的主体作用，给学生提供展示自我思考或互评的平台，从而培养学生独立思考、主动参与、质疑思辨等学习习惯。因此，笔者根据上述椭圆中三角形面积的基本问题设计如下探究性问题。
问题5 如图2，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，A（-a，0），B（0，-b），原点到直线AB的距离为255。
（1）求椭圆E的方程。
（2）若点P是椭圆上第一象限的点，直线PA，PB分别交y轴，x轴于D，C点，求四边形ABCD的面积。
师：请同学们思考一下这些问题：如何求椭圆方程？四边形ABCD有什么特征？四边形ABCD的面积如何表示，是否随着点P的变化而变化。
生1：利用椭圆与直角三角形斜边上的高的几何性质求出椭圆方程为x24+y2=1，设点P的坐标，再求出点C、D的坐标，将四边形分割成两个直角三角形，求出其面积为2，即四边形ABCD的面积为ab。
生2：由于四边形面积与动点P无关，但△PAB的面积是变化的，因此问题可以改为求△PCD面积的最大值。只要作AB的平行线与椭圆相切，利用判别式为0即可。
生3：利用导数写出切线方程，继而求出切点P 2，22，即可求出最大值为2-1。
生4：这其实就是偏导函数思想。
师：很好。同学们不仅解决了问题，而且衍生出新的问题、新的方法。
【设计意图】在课堂上，很多综合性问题的解题方法是教师设计好的，学生往往都是听和记，较少主动参与探索问题。问题驱动的教学模式是改善这种关系的有效途径，其调动了学生的积极性，培养和发展了学生的独立思考和创造能力。如由四边形的面积为定值引发学生对一般情况的思考，继而提出新的问题，即求△PCD面积的最大值及解决问题的途径。因此，问题驱动是通过解决一系列的小问题逐步达成，并按照“发现问题—解决问题—发现新问题—再解决问题”来推进教学的。
问题6 如图3，已知椭圆E：x22+y2=1上点P（x0，y0），过点P的直线l与椭圆E有且只有一个公共点，l与x轴交于点M，与y轴交于点N。
（1）求证：l的方程为x0x2+y0y=1。
（2）若点P在第一象限时，求△MON面积的最小值，以及此时点P的坐标。
（3）若直线l与圆O：x2+y2=2交于两点A、B，求△AOB面积的最大值。
【设计意图】在课堂上，教师不能只是把问题的答案直接告诉学生，而是要想着怎样设问，学会倾听学生的想法和思维过程。问题驱动下的教学不仅给师生提供了交流的平台，将师生活动整合到提出问题、解决问题的过程中，学生在解决问题的过程中，体验到成功的喜悦，提高了学习兴趣。
在提出问题6后，教师出示以下变式题，即问题7，引导学生分析解题思路。
问题7（变式题） 如图4，已知椭圆E：x22+y2=1上点P，过点P的直线l与椭圆E有且只有一个公共点，且与圆O：x2+y2=2交于A、C两点，过点P与l垂直的直线M与圆O交于B、D两点。
（1）若P1，22，求四边形ABCD的面积。
（2）求四边形ABCD面积S的最大值。
【设计意图】当面对情境新颖的问题时，学生往往容易束手无策，这就需要教师教会学生如何思考，让学生学会不断转化问题，将陌生问题转化为熟悉的问题，然后再转化为已经能解决的或者比较容易解决的问题。数学化的过程就是灵活运用数学思想方法的过程，教师在教学过程中应突出思想与方法，让学生学会反思、体会与感悟。
三、教学反思
学生数学素养水平的达成不是一蹴而就的，它具有阶段性、连续性和整合性等特点。因此，在高三复习的教学中，教师应根据学生提出的问题组织内容，设定数学素养达成目标和层次，使学生的核心素养落到实处。
（一）回归教材，温故基础知识
数学教育家弗赖登塔尔认为，数学学习的唯一正确方法是让学生进行“再创造”，也就是说，由学生本人把学习的东西实现或创造出来，教师的任务是为学生的发展创造条件、引导探索[3]。因此，在复习教学中，教师注重利用已有的知识同化和顺应新知识，让学生经历知识的发生和生成过程，使学生的学习潜能得以提升。教师要从教材中精心选题，创设适合学生的宽松的交流氛围，让学生经历问题辨析、相互交流，自主提出求解的策略，自觉回顾所涉及的知识与方法，领悟数学的本源。例如在本节课伊始，教师以教材中的原题带领学生回顾数学知识的本源，渗透数学核心素养。再如由基本问题引导学生通过简单问题的解决，抽象出一般問题。在得到了两组三角形面积的数值之后，发现三角形面积大小可能和虚轴长有关;当变换角度时，三角形的面积又有一定的变化，说明其和顶角也有关，因此，对双曲线甚至是椭圆中焦点三角形的面积进行观察、分析和论证后，分别得到S=b2cotθ2和S=b2tanθ2两个结论，体现了数据分析的核心素养。
（二）回归基本，温故思想方法
《普通高中数学课程标准（2017 年版） 》着重强调要提高学生从数学角度发现问题和提出问题的能力，以及分析问题和解决问题的能力。通过问题的解决，揭示其内在的联系与规律，从中提炼出基本的数学思想方法，关注知识之间的内在联系，引导学生利用这些思想方法发现新的问题。如在解析几何的复习教学中，教师要引导学生重视函数与方程思想及解析法等的运用，将几何问题代数化，代数问题几何化，体现直观想象的核心素养。因此，在高三数学复习课中，教师要精选典型例题，引发师生、生生之间相互交流和讨论，让其经历变式、拓展的过程，发现问题的本质，自主地提出新问题、解决新问题，提升学生的数学核心素养、创造能力和科学严谨的思维品质[4]。
（三）回归真题，温故命题意图
数学高考题注重回归数学本源，特别是最后冲刺阶段，学生不要做偏、难、怪的题目，也不要做所谓的“新题”，应研究高考真题的命题意图，研究试题考查的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本解题经验，突出数学本质，立足通性通法，规避巧法。北京大学周民强教授曾说：“技重于练，巧重于悟。”[4]教师要加强学生的习题演练，让学生形成基本技能，提升关键能力，领会命题意图，规范答题。如在解题中，不少学生直接利用类比方法写出在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上点P（x0，y0）处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1，教师应及时向学生指出，这在高考阅卷中是会被扣分的，即使是圆的问题也不能直接使用。
参考文献：
[1]涂荣豹.数学教学设计原理的构建：教学生学会思考[M].北京：科学出版社，2018.
[2]王思俭.怎样学会数学思考[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2019.
[3]涂荣豹，宁连华，徐伯华.中学数学教学案例研究[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[4]任子朝.从能力立意到素养导向[J].中学数学教学参考（上旬），2018（5）：1.
（责任编辑：陆顺演）
