【摘 要】数学核心素养作为连接党的教育方针与数学课程之间的桥梁，是开展数学教学的出发点，是数学学业评价的落脚点，其概念贯通小学、初中、高中，它具有课程特征、学科特征、素养特征、形成特征。文章借助图形直观理解数学核心素养的三个基本问题。一是阐释研究数学核心素养的重要性;二是通过构建几何模型来理解数学核心素养;三是通过知识学习的理解、迁移、创新三种形态评价数学的六个关键能力，从而测评数学核心素养和学业质量水平。
【关键词】数学核心素养;几何模型;数学关键能力;学业评价
【作者简介】刘祖希，华东师范大学出版社副编审，新青年数学教师工作室主持人，全国数学科学方法论研究交流中心副秘书长兼学术委员会副主任，主要从事数学教育研究。
《数学写真集（第1季）——无需语言的证明》一书由许多“无需语言的证明”的图片组成，书中许多“证明”——图形令人拍案叫绝，充分显示了“有什么比用插图来展现一个个重要的数学知识点更好的主意呢？”[1]笔者阅读后深受启发，于是想到了图说的数学教育原理，希望可以借助图形帮助大家直观了解和理解许多复杂、深奥的数学教育原理。其中，关于数学核心素养有三个问题值得我们关注：为什么要研究数学核心素养？什么是数学核心素养？如何测评数学核心素养？本文将就这三个问题展开研究。
一、为什么要研究数学核心素养
我们都知道数学核心素养是从高中阶段开始提出的。在高中数学课程标准修订的过程中，为何要特别研究数学核心素养？数学核心素养究竟有多重要？
根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课程标准》）的修订思路（如图1）[2]，为了具体化和细化党的教育方针，充分挖掘各学科课程教学对全面贯彻党的教育方针、落实立德
树人的根本任务、发展素质教育的独特育人价值，各学科基于学科本质凝练了本学科的核心素养，明确了学生学习该学科课程后应达成的正确价值观念、必备品格和关键能力，对知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标进行了整合[3]6。换言之，数学核心素养既是连接党的教育方针与数学课程之间的桥梁，又是开展数学教学的出发点，还是数学学业评价的落脚点;既保持了原课程目标（三维目标）的延续性，又与时俱进。
《课程标准》还围绕如何落实数学核心素养，精心挑选、重新组织了数学课程内容，并且指明了课程内容的教学要求，提出了教材编写、教学设计、考试评价等相关建议。概言之，数学核心素养是数学课程的统领，其重要性不言而喻。
二、什么是数学核心素养
那么究竟什么是数学核心素养？高中数学课程率先提出的数学核心素养概念，小学和初中的数学课程是否适用？
2019年12月，在第十一届全国初中青年数学教师优秀课展示与培训活动闭幕式上，华东师范大学鲍建生教授做报告——《初中数学课程与教学中需要关注的几点问题》。作为国家普通高中和义务教育数学课程标准的修订组成员，他谈了对义务教育数学课程标准新一轮修订的几点思考，其中就包括小学、初中和高中数学核心素养系统的整体设计（如图2）。不难看出，數学核心素养的概念是小学、初中、高中相互贯通的。
《课程标准》指出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析六要素。这六要素既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。[3]4
数学核心素养这一概念包括几个要点：其一，它是数学课程目标的集中体现，这是其“课程”特征;其二，它是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，这是其“学科”和“素养”特征;其三，它是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的，这是其“形成”特征。
数学核心素养的六要素观点获得了许多专家学者（非《课程标准》修订组成员）的认同。比较有代表性的意见是：数学核心素养的界定反映了数十年来我国对数学教育目标的共识，在一定程度上体现了我国数学教育界多年研究成果的延续性，是一种合理选择。教师特别关注的数学关键能力归纳为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六方面。[4]许多学者还尝试构建了以下数学核心素养六要素观点的几何模型。
（一）三棱台模型
《义务教育数学课程标准（2011年版）》曾给出了十个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。这十个核心词可否与数学核心素养的六要素对应起来？著名小学数学特级教师曹培英建立了数学核心素养的三棱台模型（如图3），将十个核心词（除去非数学特征的“创新意识”，增加具有数学特征的“抽象”）归类到三棱台的六个顶点。其中，上底面顶点表示的核心素养整体作用于下底面顶点表示的核心素养。[5]
可以看出，一方面，数学核心素养六要素是十个数学核心词聚类分析的结果;另一方面，这个数学核心素养三棱台模型是基于《课程标准》修订组组长史宁中教授提出的数学基本思想（抽象、推理、模型）构建的[6]。其中，数学基本思想（抽象、推理、模型）是高层级的数学核心素养，数学的基本能力（运算能力、直观想象能力、数据分析能力）是次层级的数学核心素养。笔者曾形象地指出，数学基本思想（抽象、推理、模型）就是数学核心素养体系的“基底”[7]。
（二）魔方模型
孙成成、胡典顺试图用魔方模型表示数学核心素养六要素（如图4），其中六个数学核心素养相当于魔方模型的六个面，数学基本思想（抽象、推理、模型）是魔方模型的中心块，它隐藏于六个数学核心素养中，与六个数学核心素养紧密相连。[8]
用魔方模型表示数学核心素养，其优点是形象、直观地表明了数学核心素养的特征，如整体性、组合性、内隐性、聚合性等;缺点是没有反映数学核心素养六要素的逻辑层次与内在关联。
（三）九宫格模型
宁锐、李昌勇、罗宗绪建立了数学核心素养的九宫格模型（如图5），三行从低到高表示数学思维素养（包括直观想象和数学抽象）、数学方法素养（包括数学运算和逻辑推理）、数学工具素养（包括数据分析和数学建模），反映从数学知识学习到数学应用的数学核心素养发展过程;三列从左到右表示数学核心素养概念中的数学品质、关键能力、数学情意（包括情感、态度和价值观），从而形成了数学核心素养的九宫格模型。[9]
用九宫格模型表示数学核心素养，其优点是既包括了数学核心素养的六个成分，又涵盖了数学核心素养概念的三个维度;缺点是没有指明行与列之间的关联或逻辑关系，仅是对数学核心素养概念的一种阅读理解。
（四）金字塔模型
吕世虎、吴振英构建了数学核心素养的金字塔模型（如图6），模型由低到高包括四个层面：数学双基层、问题解决层、数学思维层、数学精神层。该模型以数学核心素养六要素作为中间两层，并向下引申出数学双基层，向上拓展出数学精神层，既包含数学核心素养的显性方面（知识与技能），又包括数学核心素养的隐性方面（应用数学解决问题的能力、数学思维以及数学精神等）。[10]
不难发现，数学核心素养的金字塔模型脱胎于《课程标准》的课程目标，其涵盖的内容似乎更全面了，但也超越了概念界限。因为《课程标准》已指出数学核心素养是数学课程目标的集中体现，课程目标包含核心素养，两者不能等同。以下理解更为合理：数学课程目标可以概括为三个层次，一是“四基”“四能”，二是六个核心素养、“三会”，三是数学精神（情感态度价值观）。“四基”“四能”是数学核心素养形成与发展的沃土，“三会”是数学核心素养的具体体现，数学精神是数学核心素养的升华。三个层次构成以数学核心素养为中心的完整数学课程目标体系。[11]
三、如何测评数学核心素养
再理想的数学核心素养概念和模型，如果不付诸教学实践、不能与实际教学相结合，都是徒劳的。当前，如何测评学生的数学核心素养显得尤为重要，因为它将有效地指导教师培养学生的数学核心素养。
南京师范大学喻平教授认为，可以通过数学关键能力来评价数学核心素养和学业质量水平。其基本观点和理由是，学生数学核心素养的生成源于对数学知识的学习。数学知识学习表现为知识理解、知识迁移、知识创新三种形态，这三种形态生成不同水平的数学核心素养。因此，对数学核心素养形成的评价应当基于数学知识学习的三种形态。数学关键能力（即数学核心素养六要素）由学习转化而来，因此也有三种水平。这样就可以用六种数学关键能力水平去界定数学核心素养的水平，进而去界定数学学业质量水平。其框架构成与关系如图7所示。[12-14]
当然，用数学关键能力暂时替代数学核心素养进行测评只是权宜之计，更科学完整的测评方法有待完善。数学教育已进入核心素养时代，我们更期待数学核心素养进入可测阶段。
参考文献：
[1]尼尔森.数学写真集（第1季）：无需语言的证明[M].肖占魁，徐沙凤，译.北京：机械工业出版社，2014.
[2]王尚志，胡凤娟.高中数学课程标准“修订思路”“组织”及“过程”[J].数学教育学报，2018（1）：11-13.
[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[4]张奠宙，马文杰.简评“数学核心素养”[J].教育科学研究，2018（9）：62-66，85.
[5]曹培英.小学数学课程核心词演变的回顾、反思与展望[J].小学数学教师，2015（11）：4-9，57.
[6]史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011（1）：1-9.
[7]刘祖希.访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题[J].数学通报，2017（5）：1-5.
[8]孙成成，胡典顺.数学核心素养：历程、模型及发展路径[J].教育探索，2016（12）：27-30.
[9]宁锐，李昌勇，罗宗绪.数学学科核心素养的结构及其教学意义[J].数学教育学报，2019（2）：24-29.
[10]吕世虎，吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建[J].课程·教材·教法，2017（9）：12-17.
[11]呂世虎，王尚志，胡凤娟，等.《2017年普通高中数学学科教学与评价指导意见》解析[J].数学教育学报，2017（6）：1-5.
[12]喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）：19-23，59.
[13]喻平.基于核心素养的高中数学课程目标与学业评价[J].课程·教材·教法，2018（1）：80-85.
[14]渠东剑.素养导向下的学业质量评价探讨[J].数学教育学报，2019（5）：59-64.
（责任编辑：罗小荧）
