邱浩��
摘要：恒成立问题是高中数学一种常见题型，在高三的模拟考试和全国各地的高考中屡有出现，是高三复习的重点也是难点，解决好恒成立的问题，需要扎实的基础知识，但也需要掌握一些典型的方法。恒成立问题考查函数不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐。本文将恒成立问题的几种典型的方法略作归纳。
关键词：教学方式；教学案例；公式
方法一、构造函数
1. 确定主要元素，利用函数单调性解决。
例1求使不等式x2+px+1>2p+x对于|p|≤2恒成立的x的取值范围。
分析：多元不等式问题求解的关键在于确定哪个元素为主要元素。这个问题的常见错误是把它当成关于x的不等式讨论。正确的是将p作为主要元素，就可转化为关于p在[-2，2]内的一次函数大于0恒成立的问题。
解：不等式化为（x-1）p+x2-2x+1>0，
令：f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，
轉化为：f（p）=（x-1）p+x2-2x+1>0在[-2，2]上恒成立
解得f（-2）>0
f（2）>即x2-4x+3>0
x2-1>0
得：x>3或x<1
x>1或x<-1
∴x<-1或x>3。
2. 构造二次函数，利用根的分布来解决。
例2不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立，若a<0，求a的取值范围。
分析：这类和三角函数综合的问题，思路要明确，首先有换元思想，构造成二次函数，可以参照其图像来解决。
解：不等式可化为：cos2x+（1-a）cosx-a2≤0
令：cosx=t，因为x∈R，所以t∈[-1，1]，
设f（t）=t2+（1-a）t-a2
即f（t）=t2+（1-a）t-a2≤0在t∈[-1，1]上恒成立
得a<0
f（1）=1+1-a-a2≤0
f（-1）=1-（1-a）-a2≤0
a<0
a≤-2或a≥1
a≤0或a≥1a≤-2
故所求的a的范围为（-∞，-2]。
方法二、分离变量，求函数的最值的方法。
例4已知二次函数f（x）=ax2+x+1对x∈[0，2]恒有f（x）>0，求a的取值范围。
分析：分离变量是一种很典型的方法，在把变量分离之前，一定要注意能否分，分了之后不等式的符号能否确定，必要时候还要进行讨论，本题就结合了分类讨论的思想进行分离变量。
解：对x∈[0，2]恒有f（x）>0即ax2+x+1>0变形为ax2>-（x+1）
当x=0时对任意的a都满足f（x）>0只需考虑x≠0的情况
a>-（x+1）x2即a>-1x-1x2
要满足题意只要保证a比右边的最大值大就行。
现求-1x-1x2在x∈（0，2]上的最大值。令t=1x
∴t≥12
g（t）=-t2-t=-t+122+14（t≥12）
g（t）max=g12=-34所以a>-34
又f（x）=ax2+x+1是二次函数∴a≠0
∴a>-34且a≠0
方法三、数形结合，直观求解。
例5不等式ax≤x（4-x）在x∈[0，3]内恒成立，求实数a的取值范围。
解：画出两个函数y=ax和y=x（4-x）在x∈[0，3]上的图像，如图：
知当x=3时y=3，a=33
当a≤33x∈[0，3]时总有ax≤x（4-x）所以a≤33
作者简介：邱浩，江苏省句容市，句容市第三中学。endprint
