李贤江��
摘要：在数学教学中，教师要积极开发教材资源，揭示数学本源。本文通过教材解读、重难点把握、教学进程创新来分析辅助角公式的教学。
关键词：教材解读；重难点把握；教学进程
一、 教材解读
辅助角公式是三角函数的一个非常的重要公式，几乎是每年高考必考内容之一，所以有必要重点研究。但在现行人教A版教科书必修四中并未给其冠名和直接研究，而是通过练习题、例题、习题的方式循序渐进渗透、逐步显现，共分为三个层面：
第一层面：（人教A版必修四132页练习第6题）
化简：（1）12cosx-32sinx；（2）3sinx+cosx；
（3） 2（sinx-cosx）；（4）2cosx-6sinx。
该练习题设计意图是两角和与差正余弦公式的逆向运用，涉及“数字化角”的技巧。
第二层面：（人教A版必修四140页例3）
求函数y=sinx+3cosx的周期，最大、最小值。
该例题设计意图是通过三角变换，将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin（ωx+φ）的函数，进一步研究其相关性质，蕴涵了化归与转化思想。
第三个层面：（人教A版必修四144页习题3.2B组第6题）
（1） 求函数y=3sinx+4cosx的最大值与最小值；（2）你能用a，b表示函数y=asinx+bcosx的最大、最小值吗？
该题将问题推扩至一般的情形：①辅助角φ非特殊角；②用a，b表示函数y=asinx+bcosx的最值。设计意图的意图显而易见，意在揭示一般化问题的本源、规律。
以上题组，先有辅助角公式的具体实例——“和差角公式”的逆向应用，再有辅助角公式的综合应用——探究y=asinx+bcosx函数的相关性质；后有辅助角公式的规律探寻——回答了如何提取常数，如何确定辅助角。以上三个层面，貌似分散杂乱，实则独具匠心。教材编写专家从具体到抽象、从特殊到一般、从现象到本质，循序渐进、步步深入，立体、灵动地展示了辅助角公式的发生、发展过程。
二、 重难点把握
重点：（1）将y=asinx+bcosx化成y=a2+b2sin（x+φ）的形式；（2）辅助角公式的应用。
难点：（1）为什么提取a2+b2；（2）辅助角φ的确定。
三、 教学进程创新
（一） 利用类比思想，初步感知
在学完两角和差正余弦公式之后，教师出示人教A版必修四132页练习第6题，引出辅助角公式的教学。
化简：（1）12cosx-32sinx；（2）3sinx+cosx；
（3） 2（sinx-cosx）；（4）2cosx-6sinx。
习题设置的目的：两角和差正余弦公式的逆向使用。由于学生刚学习了两角和差的正余弦公式，该问题不难回答。
解：（1）学生甲：原式=cosπ3cosx-sinπ3sinx=cosx+π3
学生乙：原式=sinπ6cosx-cosπ6sinx=sinπ6-x
（2） 学生：原式=232sinx+12cosx=2sinx+π6
第（3）、（4）解答过程由学生尝试。
教师追问：（1）还可以化简成其他形式吗？（目的体现辅助角φ可以不唯一）
（2） 第（2）个化简为什么提取2？很多学生感觉容易，但是难以解释为什么这样做，此时教师不急于解释，“引而不发”，留下悬念。
后面两组课本题目，以“题根与变式”的思想系统设计：
变式1（人教A版必修四140页例3）：求函数y=sinx+3cosx的周期，最大值、最小值
该题体现辅助角公式的初步应用，在学生的最近思维发展区内生长新知识，有前面的铺垫，学生很快化为y=2sinx+π3，虽然没有学习y=Asin（wx+φ）的图象与性质，但可以利用“整體代换”的思想轻松求出最值。
变式2（教材第144页习题3.2B组第6题）：
（1）求函数y=3sinx+4cosx的最大值与最小值；
（2）你能用a，b表示函数y=asinx+bcosx的最大、最小值吗？
该变式的设计将问题层层递进，让学生初步感知函数y=asinx+bcosx可以化成y=a2+b2sin（x+φ）的形式，关键在于让学生明白为什么要提取a2+b2？辅助角φ到底等于多少？以揭示辅助角公式的本质与变形通法与技巧。
（二） 提取a2+b2的理论解释，把握变形方向
（1） 代数解释：
①换元思想：
asinx+bcosx=a2+b2aa2+b2sinx+ba2+b2cosx
∵aa2+b22+ba2+b22=1，令aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ，
∴原式=a2+b2sin（x+φ）。
②方程思想：
令asinx+bcosx=ksin（x+φ）=k（sinxcosφ+cosxsinφ）
∵asinx+bcosx=kaksinx+bkcosx，∴cosφ=ak
sinφ=bk，∴ak2+bk2=1，∴k=a2+b2。
（2） 几何解释
设OA=（a，b），OB=（sinx，cosx），
∴y=asinx+bcosx=OA·OB=OAOBcosθ=a2+b2cosθ，
其中cosθ=cos（x-φ）。（其原因见C（α-β）公式的推导过程），φ满足
cosφ=ba2+b2，sinφ=aa2+b2，可以发现提取a2+b2的目的是将OA=（a，b）单位化，即将OA压缩成一个单位向量OA′，即OA′=1OA OA（如图）
设计意图：从代数和几何两方面揭示提取a2+b2的理由，有利于学生对公式的本质理解。
（三） 辅助角φ的确定
问题1：变式中y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），角φ能确定吗？
学生：角φ满足cosφ=35，sinφ=45，显然当φ∈[0，2π）时，φ是唯一确定的。
问题2：一般的y=asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ），φ的几何意义是什么？
学生：角φ满足sinφ=ba2+b2，cosφ=aa2+b2，由三角函数定义，当φ∈[0，2π）时，φ的大小是点P（a，b）所在终边所确定的最小正角（如右图）。
值得指出说明的是，影响甚广的“百度百科”中称，asinx+bcosx=a2+b2sinx+arctanba为辅助角公式，即φ=arctanba，是错误的，因为arctanba∈-π2，π2，例如：-sinx+cosx=sin（x+34π），然而arctan（-1）=-π4。
后记：辅助角公式是“三角函数”一章的派生公式，与三角函数的定义，两角和差的正余弦，向量的数量积有着密切联系，因此分析知识之间的内在联系，整合开发教材现有资源，有助于挖掘揭示其数学的内涵与本源。不但让学生“知其然”，而且“知其所以然”，这对完善学生的认知结构，提高学生的思维品质大有裨益。
作者简介：李贤江，四川省成都市，四川省成都石室中学。endprint
