黄建华��
摘要：普通高校专升本考试作为在校专科生实现再教育和深造的一个重要途径，越来越受到各高校的重视。在专升本高等数学的复习中，中值定理及其应用是一个难点，作者在多年的复习教学中，采用微分方程解决一类中值定理证明题辅助函数的构造问题取得了良好的教学效果。
关键词：高等数学；中值定理；微分方程
普通高校专升本考试作为在校专科生实现再教育和深造的一个重要途径平台，越来越受到各高校的重视。在校学生参加专升本复习和成功专升本的比例成为衡量教学效果新的考核指标。在专升本高等数学的复习中，如何在现有学生薄弱的数学基础上，让学生理解、适应新层次的数学教学和考核内容，是在职数学教师值得考虑的问题。综合应用是专升本考试的一个重要方向。在中值定理的应用中引入微分方程的思想方法，既可以清晰的讲解一类中值定理证明题辅助函数的构造问题，又可以创造性地提出高等数学综合应用解决问题的新思路，在笔者的教学过程中取得了良好的教学效果。
一、 罗尔中值定理
若函数f（x）满足如下条件：（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续，（2）f（x）在开区间（a，b）上可导，（3）f（a）=f（b），则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0。
在专升本中值定理的应用证明题教学中，主要的一类题目是要求根據题意构造辅助函数F（x），使得F（x）满足以上三条件，从而证明结论成立。在一般的教学过程中，教师仅仅从特殊情况出发，主要用凑的方法提出辅助函数的构造，比如：
例1设f（x）在区间[0，1]上连续，在区间（0，1）内可导，且f（0）=1，f（1）=0，证明在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）+ξf（ξ）=0。
在教学过程中，教师一般从结论形式出发发现具有[ξf（ξ）]′=0，从而提出构造辅助函数F（x）=xf（x）。这个讲解过程简单，但是不好推广，对结论和方法不具有一般性，针对高职学生的数学基础而言，很难理会教师构造函数的意图，教学效果差，很难训练学生举一反三的能力。
二、 推广
在证明结论中既含有已知函数f（x），又含有f（x）的一阶导数，具有形式：b（x）f（x）+c（x）f′（x）=0时，这类应用罗尔中值定理的证明题一般总是利用已知函数f（x），构造函数F（x）=g（x）f（x），要不直接使得：
F′（x）=g′（x）f（x）+g（x）f′（x）=0（1）
或者上述展开式可以提取公因式s（x）后变形为：
F′（x）=s（x）[b（x）f（x）+c（x）f′（x）]（2）
其中s（x）不可能为零，从而由罗尔定理证明需要证明的结论形式：b（ξ）f（ξ）+c（ξ）f′（ξ）=0。
实际上，第一种情况也可归纳为（2）式的一种特殊情况。因此，关键是求得辅助函数中附加部分g（x），我们可以借用微分方程来求解，综合（1）（2）两式可得：
g′（x）=s（x）b（x）g（x）=s（x）c（x）
其中b（x）、c（x）是已知的，s（x）可看成未知的，在上式中消去s（x），可得微分方程
g′（x）=b（x）c（x）g（x）（3）
上式一般为一阶线性微分方程，求解后即可构造辅助函数F（x）=g（x）f（x），还可看到结果不唯一。
三、 举例
例2设f（x）在区间[1，2]上连续，在区间（1，2）内可导，且f（1）=f（2）=0，证明在（1，2）内至少存在一点ξ，使f（ξ）ξ=2007f′（ξ）。
分析：将结论转化为：f（x）-2007xf′（x）=0，应用（3）式，可得微分方程：
g′（x）=-12007xg（x），可解得g（x）=cx-12007，不妨取g（x）=x-12007，易证辅助函数
F（x）=g（x）f（x）=x-12007f（x）在区间[1，2]上满足罗尔定理，且
F′（x）=x-12007f′（x）-12007x-20082007f（x）=x-12007[f′（x）-12007xf（x）]
而函数s（x）=x-12007在（1，2）内始终大于零，所以只能存在ξ，使
f′（ξ）-12007ξf（ξ）=0即f（ξ）ξ=2007f′（ξ）。
参考文献：
[1] 文亮教育.高等数学[M].杭州：浙江工商大学出版社，2016.
[2] 侯风波.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2010.
作者简介：黄建华，讲师，浙江省衢州市，衢州职业技术学院。endprint
