张清良��
摘要：本文针对少数民族预科学生学习数学的现状，通过利用分部积分法的教学探究，引导他们进行探究性学习，培养他们学习数学的主观能动性、学习兴趣和数学思维等。我们认为探究性学习对激发预科生学习数学热情、提高数学教学质量具有一定的实际意义。
关键词：预科学生；探究性学习；分部积分法
探究性学习是一种自主探索学习。它通常是指在教师的引导下，为学生针对教学过程的探索而开展的探究性学习，是教育教学改革的需要，也是实施素质教育的需要。在这种探究性学习过程中，需要学生通过自己的亲身体验、动手操作、合作交流，主动去发现问题，并创造性地解决问题。因此，这种探究性学习可以培养学生的创新发现精神和实践动手能力，也“具有更强的问题性、实践性和解决问题性”，也可以说这是探究性学习的核心。
一般来说，少数民族预科学生的数学基础比较薄弱，提高预科生对数学的学习兴趣，并很好地掌握吸收老师在课堂上所教授的数学知识，是当今预科教育老师所面临的重要问题。在推进教学教改的活动中，笔者发现在习题课讲解中开展探究性学习，往往会取得很好的教学效果。下面让我们介绍“在高等数学教学中，运用分部积分法探索探究性学习”。
一、 引导学生课前复习
1. 常用凑微分：-1x2dx=d1x，1xdx=2dx等
2. 微分公式应用：cosxdx=dsinx等
二、 分组进行学习讨论如下
1. 引导学生观察
对于某些不定积分的计算，如∫xexdx，∫xlnxdx，∫arctanxdx，∫excosxdx等，基本没有公式可循，也不便用换元法求解，常用另外一种积分方法求解。
设u（x），v（x）有连续的导数，由微分公式，有
d（uv）=udv+vdu
移项整理后，可得
udv=d（uv）-vdu
两边求不定积分，有
∫udv=∫d（uv）-∫vdu
这个公式称为分部积分公式。
2. 引导学生探究
实例1：求∫xcosxdx
解：设u=x，dv=cosxdx=dsinx，则v=sinx，
∫xcosxdx=∫xdsinx
=x·sinx-∫sinxdx
=xsinx+cosx+c
但如果设u=cosx，则dv=xdx，即v=x22
∫xcosxdx=∫cosxdx22
=x22·cosx-∫12x2（-sinx）dx
=x22cosx+∫12x2sinxdx
右端的积分比原积分更不容易求出，因此这种设法不好。恰当的选取u，v很重要，一般应注意：
（1）选取的v要容易求得出；
（2）∫vdu比∫udv容易积出，或者继续分部积分容易求出结果。
实例2：求∫excosxdx
解：
∫excosxdx=∫cosxdex
=excosx-∫exdcosx
=excosx+∫exsinxdx
=excosx+∫sinxdex
=excosx+exsinx-∫exdsinx
=excosx+exsinx-∫excosxdx
∴∫excosxdx=12ex（cosx+sinx）+c
在本例的求解过程中，我们发现若需多次用到分部积分法，则要求每一次都是对同一类型的函数凑成微分。反之，如果用不同的函数凑成微分，是求不出积分的。例如：
∫excosxdx=∫exdsinx
=exsinx-∫sinx·exdx
=exsinx-∫sinxdex
=exsinx-exsinx+∫excosxdx
=∫excosxdx
实例3：求∫sec3xdx
解：
∫sec3xdx=∫secxsec2xdx
=∫secxdtanx
=secxtanx-∫tanxdsecx
=secxtanx-∫tanx·secxtanxdx
=secxtanx-∫secx（sec2x-1）dx
=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx
=secxtanx-∫sec3xdx+lnsecx+tanx+c
∴∫sec3xdx=12secxtanx+lnsecx+tanx+c
在计算某些积分时，往往要同时使用换元积分法和分部积分法才能完成计算。
实例4：求∫e3xdx
解：令3x=t，则dx=3t2dt
∫e3xdx=3∫t2etdt
=3∫t2det
=3（t2et-∫etdt2）
=3（t2et-∫2tetdt）
=3（t2et-2∫tdet）
=3（t2et-2tet+2∫etdt）
=3t2et-6tet+6et+c
=3e3x（3x2-23x+2）+c
在本例中，我们用到了两种计算不定积分的基本方法（换元积分法和分部积分法）。它告诉我们在求解不定积分的时候，往往会用到多种不同的积分方法。因此，我们要熟悉这些方法的典型类型以及典型解法，在解题时能够选择合适的方法来求解。
三、 学生分组总结的探究结论
分部积分法总结：
1. ∫p（x）exdx凑微分为∫p（x）dex。
2. ∫p（x）sinxdx，∫p（x）cosxdx分别凑微分为∫p（x）dcosx，∫p（x）dsinx。
3. ∫p（x）lnxdx，把p（x）dx凑微分，如：∫x2lnxdx=∫13lnxdx3。
4. 对于∫p（x）·反三角函数·dx，把p（x）dx凑微分。
5. ∫eaxsinbxdx，∫eaxcosbxdx可分别凑微分为∫eaxdcosbx，∫eaxdsinbx，或∫sinbxdeax和∫cosbxdeax。
6. 若需多次用到分部积分法，要求每一次都是对于同一类型的函数凑成微分。
7. 在计算某些不定积分时，要同时使用换元积分法和分部积分法。
四、 結论
在巩固原有基础知识的前提下，开展探究性学习，可以大大提高学生的主观能动性，让学生能够灵活地运用数学定理。这不但让学生主动参与到教学过程当中，还激发了他们的数学学习兴趣。探究性学习首先强调学生要积极思考、主动钻研；其次强调老师的正确引导。它对我们的教学活动具体十分重要的意义。用于开展探究性学习的题材有很多，只要我们能够认真分析，积极钻研，注意收集，结合学生实际情况，就能很好地推进它。
参考文献：
[1]杨志文.中学数学教学中开展探究性学习的几点思考[J].数学通报，2001，（11）：10-12.
[2]宁连华.数学探究学习研究的特点及其思考[J].数学教育学报，2005，14（4）：28-30.
[3]黄旭玲，等.数学教学中的研究性教学策略[J].数学与管理，2006，（21）：88-89.
作者简介：
张清良，湖南省吉首市，吉首大学民族预科教育学院。endprint
