周龙虎 胡典顺
【摘 要】类比是灵感迸发的重要诱因，亦是演绎论证的基础。类比属于合情推理范畴，具有可试性及未竟性等特征，即要对研究对象的相似性展开联想、做出尝试，即使结论不确定，甚至会犯错。类比的价值主要在于试误，类比的效度在于逻辑演绎和联想创造。我们应以建构的眼光去分解、重构类比的过程，以达成有价值的教与有效的学。
【关键词】类比;试误联想;逻辑演绎
【作者简介】周龙虎，华中师范大学数学与统计学学院在读博士，一级教师，新青年数学教师工作室成员，主要从事数学教育研究;胡典顺，华中师范大学数学与统计学学院教授，主要从事数学课程和教学论研究。
【基金项目】教育部人文社会科学研究规划基金项目——中小学核心素养测评的模型建构与实证研究（19YJA880012）
在逻辑学中，类比推理通常被定义为：“它是根据两个（或两类）对象在一系列属性上是相同（相似）的，而且已知其中的一个对象还具有其他特定属性，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论。”而在认知心理学领域，类比既可以被看作是推理的一种类型，也被认为是知觉的一种类型。持这一观点的学者认为类比是具有相似性的两种情境间的迁移。无论是前者关于事物属性的迁移，还是情境的迁移，类比终会促进知识或理解上的迁移。数学家波利亚说：“类比是伟大的引路人。”这句话强调了合情推理中类比的重要性。以已有的相似性估计未知的相似性，用确定猜测不确定，正是这种推理方式的精妙之处。数学家怀特海认为理解方式应有两种：第一种是把事物看作一个统一体，并获得它对环境（包括结果）起作用的能力的证据（称之为“外在理解”）;第二种是分析事物的组成要素、方式等结构概念（称之为“内在理解”）。理解类比，就应看到类比过程中尝试的价值而非仅关注类比结果的正确性;理解类比，离不开对类比认知过程、类比方式与策略的分析。因而从“外在理解”到“内在理解”的本质探寻可视作领悟类比这一独特推理方式的现象及内涵的有效路径。因此，笔者认为应从上述两种理解方式来理解波利亚这句话的内涵。
一、类比始于试误，成于勘误
我们不可否认，只要涉及正误判断的问题就会有人犯错，数学学习更是如此。学生出错，或是屡犯同样的错误，很多教师花费大量的时间和精力纠偏、纠错、析理，这样容易导致两个结果：一是错误难以根治（主要是元认知或基础、概念上出了问题）;二是迫使教师转变教学态度，开始对学生犯错预警，尽量降低他们犯错的概率。英国社会学家霍布豪斯有过精辟的阐释和评价：“他们的注意多半不是放在如何鼓励、帮助孩子独立自主地判断、行事，而是放在如何提防孩子们犯错，如何扫清孩子们前行道路上的可能性障碍，为他们提供一条简捷、平坦的光明大道上。这种不使孩子发生任何错误与过失的教育，是一种安全的教育，但绝不是一种好的教育，因为它剥夺了孩子犯错误和改正错误的机会，也就剥夺了孩子成长的机会。”其中，对如何看待学生出错，霍布豪斯则秉持“诚实的错误高于勉强地接受”这一观点，因为它是自发的行为，是个人努力的结果，是理解的必经之路。美国教育心理学家桑代克的“试误说”学习理论也告诉我们，学习的过程是一种渐进的尝试错误的过程。在这个过程中，无关的错误的反应逐渐减少，而正确的反应最终形成。因此，我们可以有效减少错误的真正发生，但不能保证错误绝对不发生，类比就符合这一要义。
不得不说，数学中有很多知识的某些核心属性是相似的，因而我们给这些具有共同属性的对象下一个定义，但有没有必要对这些对象都一一研究呢？笔者认为时间、精力不允许，也不利于学生迁移能力的培养。因此，我们需要猜测，利用这些所谓的“依据”进行合情猜测，有时比论证更具说服力。类比这个工具，给我们带来了认识上的进步。如我们总说有对比就有说服力，这里的对比是存在比较基础（共性特征）的，这也是类比。类比是一种发现类似及其关系的直觉，能够发现并建立不同事物之间的类比关系，从而指导认识上的飞跃。这种相似类比，要求在思维上首先容忍事物之间的不相关，然后通过辩证分析法认识事物之间的本质联系，这是对事物之间关系的一种洞察力，而不是从推理中直接得来的。以下通过具体例子从类比对象的结构、性质以及适用范围等进行类比。
1結构上类比
万物皆具有结构，结构是揭示事物本质的基础。数学也不例外，数学对象如代数、几何等都具备相应的结构。结构特征揭示了事物的本质特征，决定了解题思路。
例1 已知复数z1，z2，求z1z2的值。
分析：按照常规解题思路，需先求z1z2的代数表达式，再求其模。但是这个运算过程比较烦琐，需要我们在解题策略，即思维模式上进行探究。如上文分析，类比是一种思维策略，能沟通知识之间的关联，尤其能唤醒已然默许但很关键的知识。该题的优化难点在于没有直观呈现对比的对象，题干中除了“复数”这一核心字眼，再无其他信息。复数的运算如何进行？复数有哪些运算规律？教师应引导学生认识到复数是实数扩充而来的，它们免不了有共性特征。回归知识本源，这是尝试用类比分析和解决问题的一种策略。学生察觉出复数系运算性质与实数系运算性质的类似，就会疑惑z1z2=z1·z2是否成立，从而优化运算。
例2 已知a<0，f（x）满足f（x+a）=f（x）-1f（x）+1，证明f（x）为周期函数。
分析：直接求出f（x）的周期并不容易，需要先研究一个与f（x）类似的函数，通过研究其周期，再类比猜测函数f（x）的周期。根据条件f（x+a）=f（x）-1f（x）+1，容易联想到tanx-π4=tanx-1tanx+1，发现函数y=tanx实质上是函数f（x）当a=-π4的特例。因而问题就转向研究函数y=tanx的周期性，由数量关系π=（-4）× -π4，合情猜想-4a=（-4）×a，从而这一结论容易得证。限于篇幅原因，证明过程略。
2性质上类比
对数学对象内涵与外延的界定需要严谨的定义，而对于其区别于其他对象的本质属性则需要性质上的归纳与概括。然而中学数学中诸多数学定义的相似性决定了性质上的相近性，如圆锥曲线等。
例3 已知过抛物线Φ：y2=2px（p>0）焦点F的直线l与Φ交于A，B两点，则有性质：1|AF|+1|FB|=2p。若是椭圆或双曲线具有哪些性质呢？
分析：圆、椭圆、双曲线和抛物线的性质类比虽然是学生最为熟悉的一类问题，但他们对某些字母的意义或性质并非全然了解，从而在解题中频繁出错。例如对于抛物线Φ中p的几何意义，学生即使知道指的是其焦点到准线的距离，那直接类比到椭圆或双曲线中，得到焦准距为b2c也是不对的。在这一试误过程中，我们发现，如果质疑p的由来，就会主动推导抛物线的标准方程;学生在检验结论（常研究弦所在直线斜率不存在情形）时，发现结论往往与曲线的本质特征——离心率有关（抛物线的离心率e=1，故类比的风险较大）。
综上可知，我们要善于抓住数学对象的结构特征，利用相似对象的性质进行联系并延拓。在中学数学教学中，教师针对所教内容，创设类比设问情境，引导学生提出问题和解决问题，从而培养学生的类比设问意识和能力，这无疑是需要引起重视的。[1]
3特殊与一般的转化类比
类比推理是将相似问题的解决思路与方法引进新问题中，是有效经验迁移的过程，因而常伴随着新问题的解决及新旧问题解决办法的概括。类比虽立足于从特殊到特殊，试图找寻不同对象的共性特征，但一般性往往寓于特殊性中，因此，类比也是特殊与一般化思想的重要组成部分。类比推理促进了命题适用范围的扩大及一般化。
例4 5个人换座位，要求每个人都不能坐回原来的位子上，求满足题意的方法数。
分析：该题属于典型的错排问题，直接求n个人错排的方法数an的通项公式较复杂，解题的关键是要先求出数列{an}的递推关系式。从课堂探究的情形来看，教师即使引导学生探求数列{an}的递推关系，他们也不愿改变归纳式研究的首选方案（在他们看来，类比中若能发现很“优美”的共性结论，此类比结论则是正确的），经过探究，学生发现2个人错排方法数为1=10种;3个人错排方法数为2=21种;4个人错排方法数为9=32种。从而猜想5个人错排方法数为64=43种，并将其推广到一般情形：n个人错排方法数为nn-1种（归纳过程中蕴含着类比）。笔者肯定了学生敏锐的洞察力，但同时也提出疑问：能否解释nn-1的实际意义，若解释不清，这一类比多半是错误的。实际上，5个人错排方法数为44种。不难分析得到，学生的思维是倾向于从特殊到特殊，或是从特殊到一般的归纳式思维，但常常忽略类比过程中的逻辑成分。如若不顾及类比物之间的差异，试误是毫无意义的。如在平面几何中有这样的命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”，直接简单类比到立体几何中，得到的命题“垂直于同一平面的两平面互相平行”却是假命题;“三角形三条高交于一点”的命题成立，而“四面体四条高线交于一点”的命题却不成立。因此，在特殊与一般的转化类比教学中，教师应引导学生对类比对象的共性特征和异质特征做充分的对比与分析，方能确保一般化的结论经得起推敲。
综上所述，从“外在理解”层面理解类比可从数学对象的结构及其性质等要素着手，警惕类比过程中掉进类比陷阱。为增加类比的可信度，减少试误的次数，我们可适当增加类比项，找到类比对象的不同属性间的本质和必然的关系。
二、类比的效度：逻辑演绎与联想创造
如果类比的内在机理或与类比的过程未弄清楚，类比是难以被真正理解的。美国西北大学心理系教授Dedre Gentner认为，类比应用主要涉及的认知过程有：（1）检索（retrieval），在工作记忆中给定一些当前情境，人们从长时记忆中获取一个先前相似的或类似的例子;（2）映射（mapping），在工作记忆中给定两个案例，映射由联合它们的表征结构以抽取共同性和从一个到另一个投射推论组成;（3）评价（evaluation），对类比及其推论所做的基本判断以便于新的推论的抽取;（4）抽取（abstraction），即抽取两个相类似的事物的结构共同性，在映射过程中可能会存在进一步的加工;（5）再表征（rerepresentation），改編一个或两个表征以提高匹配。总而言之，类比是根据类似物这一客观对象所进行的规律与事实的联想，不是从一个偶然的联想到另一个偶然的联想;类比是从形式结构表征到逻辑意义表征动态渐变的过程，不是一步到位的瞬变过程。
类比推理具备投石问路的功能，正如德国数学家康德（IKant）所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。”如何保证前进之路不再折返，就不得不考虑类比的效度问题。欲提高类比的效度，就必须将类比置于推理和逻辑范畴内。类比推理方式虽然是单一的由特殊到特殊的过程，但其中蕴含的思维过程包括归纳和演绎推理。它先由每个对象具有某种属性归纳得到某类对象具有该种属性，然后再由此演绎得出另一同类对象也具有该属性。类比较归纳可靠性更差，因为后者在逻辑推理中一般蕴含特殊，所以其结论总不至于走向真实的反面，而类比是有可能的;类比较归纳更难运行，因为如果类比对象隐晦时，类比是盲目的，这就需要有敏锐的洞察力和丰富的联想创造能力。
1类比离不开逻辑演绎
在大前提和推理形式正确的前提下，推理结果是无误的，因此要得到一个可靠的类比结果离不开逻辑演绎。逻辑演绎作为一种保真推理方式，能将类比对象的共性特征和共同本质提炼并概括出来。
例5 设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=2Sa+b+c。类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为r，四面体S-ABC的体积为V，则r= 。
分析：这是学生的一道独立作业题，正确率还是比较高的。笔者自认为学生对类比推理掌握得不错，待到课下与学生交流才得知，做对的绝大部分学生只是单纯地注重到了平面几何与空间几何的元素的对应类比，即点对线，线对面，面对体，因而猜得结论r=3VS1+S2+S3+S4，不曾想到证实或证伪。经过笔者的提示后，还有很大一部分学生不知道如何驗证，即使知道平面中三角形内切圆的半径的求法采用的是面积分割法，也不能类比到体积分割上来。
例6 如图1，在平面几何中，△ABC∠C的内角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC=AEBE，把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，面DEC平分二面角A-CD-B，且与AB相交于点E，则得到类比的结论是 。
分析：在批改学生的作业时，笔者发现有60以上的学生填的答案是S△ACDS△BCD=S△ACES△BCE，而参考答案给的是S△ACDS△BCD=AEBE。很多学生觉得答案不对，他们认为平面几何中是线段成比例，空间几何中应该是面积成比例。这样的思路貌似是正确的，但在探求结论的证明思路后，发现平面几何中是由三角形面积比例得到的线段之比。同样地，空间几何中也应从三棱锥体积之比入手，得到的直接结论便是参考答案的形式。尽管类比元素（或形式）很重要，但类比思路才是核心。
例7 4个平面最多能将空间分成几部分？5个平面呢？
分析：波利亚指出：“类比是某种类型的相似性。我们可以说它是一种更确定和更具概念性的相似。”解决本题的关键就在于能否将这种更确定和更具概念性的相似用数学的方式清楚地表达出来。平面分空间的问题较难在纸上完成，特别是平面个数多，且要求分成最多部分的情形。由于数学的高度抽象性，以及随着学生数学学习进程的发展，数学对象之间的表面相似性越来越小，深层次的结构相似性需要用恰当的方式表征后才能显现出来，越直观地表征出对象之间的结构相似性，越能促进类比推理的进行。[2]学生对空间问题进行降维处理（转化为平面问题）并不难，难的是在于降维前后如何对划分情形做具体分析，因此教师可引导学生多做更简便情形的直观表达及抽象概括。
2类比需要联想创造
联想是通过思维和想象对事物进行联结，而不用考察二者的性质，因而联想的适用范围远超过类比。为了体现不同对象间的本质区别，我们可通过联想构造以完成一个个类比，即产生新命题。
例8 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的上端点为B，线段AB与渐近线交于点M，若FM平分∠BFA，则该双曲线的离心率e的取值范围。
分析：如若把双曲线的背景类比到椭圆中，学生会疑惑：椭圆哪来的渐进线？除了这些定义或概念，我们还可以通过研究渐进线的方程发现，该双曲线的渐进线方程是y=±bax，双曲线中a，b，c满足c2=a2+b2，而椭圆中则有a2=c2+b2，即a，c互换了位置。因而类比到椭圆，可构造相似条件“线段AB与直线y=bcx交于点M”。
值得一提的是，为了提高类比结论的可靠性，我们有时还要做一些必要的调整。如以下例9。
例9 已知过圆O外一点P作圆的两条切线，切点分别是A，B，直线OP与AB相交于点C，则有OA2=OP·OC。
分析：教师通过该题引发学生思考，椭圆或双曲线等也有类似的性质吗？学生得出，若已知椭圆外一点P作椭圆的两切线，其中点O是椭圆的中心，切点分别是A，B，直线OP与AB相交于点C，则有OA2=OP·OC。实际上，这个结论是不成立的。教师又继续引发学生思考，这类问题能类比到圆锥曲线吗？通过几何画板的测量和调整，学生发现在圆中的结论等价于OD2=OP·OC，点D是射线OP与圆O的交点，在圆锥曲线中也可验证这一命题的正确性。当然，这个教学过程我们可以放慢些，尽可能让学生主动探寻，由学生自我调整、自我成就的经历能逐步完善他们的数学经验，让科学的解题策略得以真正落实。
三、结语
上述两点仅是笔者的浅薄认识，但从培养学生创新思维、数学直觉的角度讲，教师不能过多地强调严谨的演绎推理而忽视大胆的类比推理。波利亚曾说过：“无论是在初等数学、高等数学中的发现，或者在任何别的学科中的发现，恐怕都不能没有这些思考过程（指类比与归纳），特别是不能没有类比。”可类比的对象尤其丰富，可以是学科间或学科内部的知识与方法的类比，也可以是表征形式，如数学符号语言中数式与图形的类比;可以基于方法，也可以基于结论。类比能使知识变得生动起来，既有利于“知识团”的形成，又能使深度学习变为可能。
准确地认识上述两点，无论是对于教师，还是学生都是大有裨益的。教师在类比旧知识设计新知识的引入、展开及深化等环节，让学生学习并掌握类比的学习方式，完善数学认知结构，实现旧知识对新知识的正迁移，能切实提高学生的数学思维水平。
参考文献：
[1] 高向斌.数学类比设问与1997年高考理科[23]题[J].数学通报，1998（5）：17-18.
[2] 吴增生.数学类比思想教学案例及反思[J].中国数学教育（初中版），2013（9）：5-9.
（责任编辑：陆顺演）
