摘 要：数形结合思想是中学数学中一种重要的思想方法，在图形中添加辅助线，是我们经常应用的方法，辅助线能够使几何问题简化，有助于问题的解决。同时，通过研究平面几何的辅助线的添加方法，能够锻炼同学们分类研究问题的能力。平面几何的辅助线有一定的规律，而这些规律大多与几何图形的平移、对称、旋转三种变换有关，广泛应用在截长补短、构特殊三角形、化折为直这三大块。
关键词：辅助线；平移；旋转；对称
一、 变换图形补短
在题目中出现角相加为180°或两边之和等于第三边时，可通过平移、旋转、轴对称的辅助线将角移到一起构成直线，或将两短边移到一起等于第三边构造等量关系。
1. 对称补短
例1 已知：如图，∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE于A，且AB+AC=BE，求∠B的度数。
分析：从条件AB+AC=BE和∠BAD=∠DAC=9°、AD⊥AE，可以看出∠BAD+∠DAC+2∠CAE=180°，因此可将图形进行轴对称变换，即：△ACE沿AE翻折得△AEC′，从而△ACE≌△AC′E，可得AC=AC′，∠CAE=∠C′AE，结合题目条件可推出BC′=BE，∠BAE+∠CAE=180°，从而构造等腰△C′BE.即可求出∠B=48°。
2. 旋转补短
例2 如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=120°，∠ABC+∠AED=180°，连结AD，AC，求证：AD平分∠CDE。
分析：从条件BC+DE=CD和∠ABC+∠AED=180°可以将△ABC绕点A顺时针旋转120°得△AEF，根据已知条件可得△ACD≌△AFD。
二、 变换图形构造特殊三角形
在题目中出现两角之和为特殊角，如：60°，30°，45°，90°时，可通过平移、旋转、轴对称等图形变换构造特殊三角形。
1. 构造直角三角形
当存在边长为勾股数，两角和为90°时，可构造直角三角形。
例3 在等腰直角三角形ACB中，∠BCA=90°，∠MCN=45°，已知BN=3，AM=4，求MN的值。
分析：从条件∠BCA=90°，可得∠CBA+∠A=90°，而BN=3，AM=4，很容易联想到直角三角形。因此设想构造以AM、BN为直角边的直角三角形，这时可通过变换图形达到目的。即将△AMC绕点C逆时针旋转90°得△BDC，构造Rt△BND，利用勾股定理求DN=5，再通过△DNC≌△MNC求得MN=ND=5。
2. 构造等腰直角三角形
当存在直角和45°时，可构造等腰直角三角形。
例4 如图，已知PA=2，PB=4，∠APB=45°，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧，求PD的长。
分析：从条件ABCD是正方形，可知∠DAB=90°，AD=AB，所以可将△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AEB，使得△APD≌△AEB，可得PD=BE，AE=AP，∠EAP=90°，从而构造等腰直角三角形AEP，求出PE=2。再加上∠APB=45°的条件可得∠EPB=90°，利用勾股定理即可得出EB=25，所以PD=EB=25。
3. 构造等边三角形
当存在60°角时，通过对应边相等可构造等边三角形。
例5 在四边形ABCD中，DC=BC，∠B+∠D=180°，∠DCB=60°，求证：AD+BA=AC。
分析：由条件∠DCB=60°，DC=CB，可将△DCA绕点C逆时针旋转60°得△BCE。从而构造等边三角形ACE得出结论。
三、 变換图形构造特殊三角形化折为直
在题目中出现求两线段和的最小值时，且两线段有一公共点在定直线上运动，可通过轴对称作辅助线，利用两点之间线段最短，将折线化为直线段，从而求出最值。
例6 已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P、Q分别是BC、CD上的动点（不与顶点重合），求四边形AEPQ的周长的最小值。
分析：由题目条件可知，点Q、P分别在线段DC、BC上运动，所以可作点A关于DC的对称点A′，点E关于BC的对称点E′，连结A′E′，可将AQ+QP+PE的长转化为A′E′的长，达到化折为直的目的，从而求出最小值。
总之，证明平面几何的困难很多，命题的有关元素较分散是一个重要原因。为解决这一难点可在分析图形特点的同时，通过平移、旋转、对称三种变换来添置辅助线，从而把这些元素集中到一个三角形里，便于利用三角形的相关知识解题。
参考文献：
[1]黄全福.用平移、旋转、对称法添加辅助线[J].中学教研（数学），1986（3）：22-24.
[2]何汀.巧用变换攻克难关[J].数学教学通讯，2000（2）：22-23.
作者简介：刘菲芬，福建省泉州市，安溪恒兴中学。endprint
