摘要：在高中学习过程中，我们对曲线与导数都进行了较为细致的学习，对其性质与定义也有了一定的了解，在此基础上进行延伸，能够得出相关曲线导数的部分内容，其广泛的应用价值，决定了其研究价值。基于此，本文就曲线导数的定义及一些性质进行了分析，首先，介绍了笔者在对曲线导数这一问题进行研究的前期过程做出的一些思考，然后对其定义与性质进行了分析，进一步明确了这一问题研究的必要性。
关键词：曲线导数；方向导数；充分条件
一、 前言
对曲线导数存在的充分条件及其基本性质的相关研究，有利于丰富微积分理论，同时，对于笔者及其他同学的高中数学学习与未来的大学数学知识学习具有极大的帮助。因此，笔者以高中导数知识为基础，从曲线导数在经济学领域，商品价格对商品销售额的影响这一角度出发，对曲线导数进行了进一步探究。文献研究中结合的数学知识包括多元函数微分学以及偏导数及曲线微分等知识，极大地锻炼了自身的数学逻辑思维与探究学习能力。
二、 问题思考
导数是近代数学中的重要概念，对近代数学的整体研究与发展具有重要的推动意义，这主要取决于其揭示了量与量之间的变化联系，致使其在自然与经济等众多学科当中都取得了较为广泛的应用前景，其应用价值得到了充分的发挥。对于不同的研究问题，导数都可以被赋予相应的定义，除却常规的导数定义，数学专家们也对方向导数、上右导数与上左导数等进行了定义，对其性质进行了一定的研究与规范。笔者基于对经济与数学的兴趣，对提出曲线导数的相关文献进行了研究，进一步对曲线导数的定义与性质进行了总结与分析。
三、 曲线导数定义与性质
在经济学领域的研究当中发现，商品价格与销售额之间存在一定的相互影响关系，这种关系通过相关数学原理进行表示能够得到销售额S=（P，Q），其中，P所代表的是商品价格，Q代表的则是商品P的销量。由此能够明确商品销售价格与销量之间存在一种非线性关系，可表示为Q=f（P），若在商品销售过程中，商品价格P与销量Q遵循该非线性关系进行变化，则我们就能将销售额的变化率视作一个方向导数，这种定义原理，是由于S=（P，Q）中的P与Q同时作为自变量，并不会沿着同一条射线方向进行直线变化，而是会遵循某一曲线规律进行相关变化。在对商品价格与销售额之间关系的研究过程中，最终若要明确S=（P，Q）中自变量P与Q在曲线Γ：Q=f（P）上变化时函数S的变化率，就需要提出一种新型的导数定义来进行辅助研究，即为曲线导数定义。
（一） 曲线导数的定义
曲线导数的定义内容如下：假设一个函数z=f（x，y），在这一函数区域D内有定义；过区域D上的一个点M（x，y）作一条曲线，该曲线为Γ：x=φ（t），y=φ（t）。当点M沿着曲线Γ变化时，函数z=f（x，y）就会相应产生一定的变化量，当这一变化量为沿曲线的平均变化率时，且存在极限，则就能够成认定函数z=f（x，y）在其区域内的点M处沿曲线方向的导数存在。
依据曲线导数的这一定义，我们能够明确若曲线Γ为射线，则曲线导数的定义就会发生变化，将与方向导数一致，由此，我们能够将方向导数作为曲线导数定义中的特殊情形进行以下充分条件的研究。此时曲线导数的定义即可归结为：一个函数z=f（x，y），在一点处某个射线Γ：Q=f（P）方向上变化，这一距离的变化率即为曲线导数；若这变化率中同时考虑到与射线Γ：Q=f（P）指向恰好相反的另一条射线，在定义过程中，令函数的变化距离带上负号，由此，就得到与正向射线导数相对称的曲线导数。
依旧是上述假设函数z=f（x，y），若在区域D上存在两个偏导数，且在M点连续，则曲线函数z=f（x，y）在M点处存在。对这一定理的完全证明，首先应采用曲线图形内容对偏导数的变化轨迹进行准确呈现，再依据曲线导数的定义，对其变化过程进行有效分析，在两点逐渐逼近的过程中，两点之间的弧线可将其近似看为直线，进而得出其变化轨迹变化量。此后，在进一步利用微分计算，得出曲线导数的充分条件。
（二） 曲线导数的性质
曲线导数虽在经济学领域有着极为广泛的应用，但其研究过程多以数学原理为基础，明确曲线导数的性质，能够更好地实现曲线导数在相关研究中的应用价值，推动数学研究领域与经济领域共同获得较大的发展。
以上述曲线导数的定义为基础，提出以下几点曲线导数的性质，其中包括曲线导数在曲线为射线时的特殊形式。
若存在沿着同一曲线变化的两个函数变化量，则说明在函数f1±f2区域内同样存在曲线导数；若存在沿着同一曲线变化的两个函数变化量，则说明在函数f1·f2区域内同样存在曲线导数；若存在沿着同一曲线变化的两个函数变化量，则说明在函数f1/f2区域内同样存在曲线导数。
四、 结束语
综上所述，对曲线导数的定义及一些性质的研究，有利于对现阶段高中所学知识内容进行巩固，同时，还对多元函数微分、曲线微分、偏导数等知识内容进行初步了解，从相關文献当中，还能了解并学习到知识研究过程的逻辑思维，对以后的数学知识学习具有极大的帮助。另外，对曲线导数定义与性质的研究，便于以后经济学领域的应用，是笔者今后在高中学习以及未来大学学习的重点方向。
参考文献：
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[2]曾玉强，崔震，陈礼，李洪畅.试井解释中导数曲线超越压差曲线的原因分析[J].油气井测试，2014，23（03）：17-18，75-76.
作者简介：
赵浩博，河南省平顶山市，平顶山市第一中学。endprint
